2015 Fiscal Year Research-status Report
j -関数の新たな拡張による，虚数乗法とその実二次体版，ムーンシャイン三幅対の夢
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15K13428
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70202017)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | j-関数 / 実二次体 / 虚数乗法 / ムーンシャイン / トンプソン級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有家，永友，境との共著論文では，ある種の微分方程式を満たすモジュラー形式の分類を通じて，ある型のアフィンVOAの分類に応用が出来ることを示した．具体的には，正整数レベルをもつアフィンVOAで指標の次元が5以下のものをすべてリストアップし，その指標の空間の基底がモジュラー微分方程式の解で張られることを示した．VOAとj関数はムーンシャイン現象の発見以来近い関係にあり，本研究の構想に得られた結果が使えるかは興味がある．構想中の2変数j関数の特殊値としてレベルが2や3のトンプソン級数が現れることを考えても，何かしらの結びつきを期待したいところである．
また，実二次体自身の研究として，以前より進めてきたcaliberの研究において，その偶奇を完全に決定するという仕事に一部瑕疵が見つかり，その修正がようやく完成し，論文を投稿した．現在査読結果に基づく改訂版を送り，その返事を待っている段階である．近い将来に出版できるものと考えている．結果は，広義，狭義両方の意味でのcaliberの偶奇を完全に決定するというものである．判別式の素因数分解の型と，そこに現れる素因子の4での剰余類のみによって完全に決定される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2015年8月にドイツ・ボンのマックスプランク研究所に滞在し，ザギエ，およびマニンと本研究の構想について議論した．そして，j関数の実二次点での値について得られている，以前の研究結果と，「2変数」jについての観察をマニンのセミナーにおいて発表した．テータ関数を用いるこの2変数jの定義が標準的なものであるかについては意見が分かれるところで，もう少し良いものであるというエビデンスを蓄積する必要を認識した．ザギエとの議論の結果，j 関数の実二次点での値についての以前の観察の証明は，特別な型の二次無理数について，その判別式が無限大に近づくとき値が744に収束することは，彼のアイデアで証明出来る見通しである．これだけではしかし論文にするには弱いので，さらに一般の場合の扱い方を検討する必要がある．
SL(2,R)への拡張については，実質的な進展は得られていない．また，マニンの実乗法プログラムについては，8月に議論したが，まだ進展を得るには困難な状況であることを認識したに留まった．更なるアイデアを模索中である．
実二次体のcaliberの研究は一区切りがついた．これを更に進めるとすると，まず手がつけられそうなこととしては，以前に部分的な結果を得ている，4を法とする場合の結果の拡張ということになるであろうが，本年度は着手するに至っていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き他大学の種々の分野の研究者との交流を持ち,また各地の研究集会(特に京大数理研, 代数学シンポジウム,仙台,広島,早稲田での数論の集会)に参加し,研究連絡や情報の交換,議論を行う. Zagier 教授とは招聘により, 直接会って議論をする. 渡航または招聘によりMckay 教授と会って議論をする機会を設けたい． 彼はムーンシャインの大家であるが, 既に二変数 j 関数の定義と発見した性質については伝えてある. それに彼は非常な興味を示し,いくつかの質問も寄せて下さった. これについてそれまでに考えたことをもとに議論を深める. アメリカの Duke 教授,またはスイスの Imamoglu 教授を訪ね,彼らの以前の結果(これは 我々の「値」そのものではなく,そのある種の「平均」を考え,それを係数とする母関数を作るとそれが重さ半整数のモックモジュラー形式になる,というものである.しかも, モックモジュラー形式には “shadow” と呼ばれる別の(真の)モジュラー形式が付随するが,これが実に,私が以前発見したjの係数公式で重要な役割を果たした, j -関数の虚二次点での値の平均の母関数になっているのである)について詳細に議論し, 27年度の研究と合わせ, そこから数論的な何かが取り出せないかを探る. またj-関数以外のモジュラー関数についての実験をはじめ,データを蓄積する. これによって j-関数特有の現象と一般的な現象を切り分け,その意味するところを考えるための材料とする.
実二次体の caliberについても秋山茂樹, 中島匠一らと議論を行う.
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| Causes of Carryover |
関連文献購入費用が当初見積もりよりも少なく済んだため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の文献購入費用に組み入れ，順次使用を進める．
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Research Products
(14 results)
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[Presentation] Finite multiple zeta values2016
Author(s)
Masanobu Kaneko
Organizer
Diophantine Analysis and Related Topics
Place of Presentation
School of Mathematics and Statistics Wuhan University, China
Year and Date
2016-03-10 – 2016-03-10
Int'l Joint Research / Invited
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[Presentation] 有限多重ゼータ値2015
Author(s)
Masanobu Kaneko
Organizer
京都大学数学談話会
Place of Presentation
京都大学数理解析研究所
Year and Date
2015-12-09 – 2015-12-09
Invited
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[Presentation] On finite multiple zeta values2015
Author(s)
Masanobu Kaneko
Organizer
Seminaire de Theorie des Nombres de Caen
Place of Presentation
Laboratoire de Mathematiques,Universite de Caen, France
Year and Date
2015-09-04 – 2015-09-04
Int'l Joint Research / Invited
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[Presentation] On finite multiple zeta values2015
Author(s)
Masanobu Kaneko
Organizer
Seminaire de Groupe d’Etude sur les Problemes Diophantiens
Place of Presentation
Universite Paris 6 Pierre et Marie Curie-Jussieu, France
Year and Date
2015-09-03 – 2015-09-03
Int'l Joint Research / Invited
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