2017 Fiscal Year Annual Research Report
Pursuing the dream of trinity of complex and real multiplications and the moonshine of the j-function by its novel extension
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15K13428
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | j-関数 / 実二次体 / 虚数乗法 / モジュラー微分方程式 / モックモジュラー形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
永友，境と共同で行ってきた複素上半平面上の微分方程式，いわゆる Kaneko-Zagier 微分方程式の一般化である3階の「モジュラー微分方程式」をある条件の下で分類するという仕事に一区切りをつけることが出来，さらに高階の場合への一般化を目指し研究中である．3階の場合の成果は，レフェリーによる詳細な指摘を受け，大幅に改良された論文が J. Algebra に掲載された．この種の微分方程式の解空間は mixed mock modular form という対象を含むことがあり，本課題の研究目的にとって，調べておくことは有用であると思われる．
また吉田と共同で，実射影空間における点配置と，円分多項式やフィボナッチ多項式との関係を調べた．素朴な問題設定に非常に綺麗な形で古典的な整数論が現れる．特に黄金比が現れる場合の考察は，j-関数の実二次点での値の考察に何らかの示唆を与えないかと思われた．
大学院生の松坂俊輝が，本課題にとっては極めて有望と思われる研究を精力的に進めている．ひとつは，代表者の以前の研究で本課題を構想する要となった，j-関数のフーリエ係数のCM値による公式の一般化である．彼はヤコビ形式との対応を巧みに用いて，殆ど計算の要らない証明方法を編み出すことにより，かなり一般のレベル付きの場合への拡張を成し遂げた．また最近では，多重調和的マース形式の研究に取り組み，その空間の基底を完全に決定するという大きな進展を得た．ある微分作用素によってこの空間内を行き来することにより，これまでKen Onoらによって得られていた散発的な対象の間の関係が非常に明快に理解される．この空間は本課題に言う三幅対のうちの二つに対応するモジュラー形式を含むものであり，今後の更なる解析が期待される．
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