2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K13435
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
印南 信宏 新潟大学, 自然科学系, 教授 (20160145)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Finsler回転面 / 測地線 / トーラス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1-径数等長変換群が作用する向きの付いたFinsler曲面の分類を行った。位相的には、球面、トーラス、シリンダー、平面に限ることを見出した。その中で、軌道が平行円と見做せるものを回転面と呼ぶ。回転Finsler曲面の平行円に挟まれた領域は、回転トーラスに等長的に埋め込めるので、回転Finslerトーラス上の測地線の挙動を詳しく研究することが最も重要である。トーラス上の測地線の挙動は、普遍被覆空間上の測地線の挙動を記述すれば、その射影として知ることができる。その際に、1-径数等長変換群を含む可換群が作用していることが重要な役割をする。まず、等長変換で普遍な直線がどのように分布しているかを決定する。そのような直線への漸近線を決定する。次に、同じ長さの平行円の持ち上げとして得られる2つの軌道に交互に接して進む測地線の挙動を決定した。回転Riemannトーラスの場合は、クレローの関係式を使って、これらの挙動を見出すことは容易である。回転Finsler曲面の場合は、クレローの関係式に対応する式は見いだせるが、同じように使うことはできないので、大域の測地線の挙動をうまく使う必要がある。内部距離が対称になる回転Riemannトーラス上の測地線の挙動との大きな違いは、右回りと左回りで構造にずれが生じる点である。この現象により、回転Riemannトーラス上には常に極が存在するが、非対称な基本関数を持つ回転Finslerトーラス上には極が存在しない。また、点から出る測地線に関する最小点軌跡と入ってくる測地線の最小点軌跡の違いを明確にする例を与えている。Riemann幾何学では起こり得ない現象を見出した点で、この研究は意義があり、今後の研究に重要である。また、負曲率空間と正曲率空間の間に位置づけられるトーラス上の研究なので、積分可能力学系の研究にも寄与すると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Finsler幾何学に登場する距離は非対称であることはよく知られている。しかし、それによって、対称な場合とどのように違った現象が起こるかあまり知られていなかった。この点に焦点を当てた研究から始めるのがFinsler幾何学の独自性だと考える。この点において成功した。また、リーマン幾何学で発展した方法を利用できる状況をつくりリーマン幾何学を利用する当初のアイデアを実践できた。さらに、この研究の過程で、Busemann関数の2階の微分可能性と平行線の公理を満たす測地線族の関係の研究など、リーマン幾何でさえ知られていなかった現象に注意が向き新たな研究方法のアイデアが生まれた。来年度以降にそれを進めていく。
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| Strategy for Future Research Activity |
非対称な距離空間の測地線の幾何学で、対称な場合とどのような違いが生じるかを明らかにする良い例が見つかったので、その例を参考にしながら研究を進めていく。具体的には、Busemann関数の2階微分可能性を平行線の理論の立場から考察する。従来は主に曲率やヤコビ型微分方程式の解との関係で研究され利用されてきたが、2階の微分可能性と測地線の大域的挙動との関係を明らかにすることで、2階微分可能性の意味することを探る。また、Finsler幾何学よりも一般的なラグランジュ力学系やハミルトン力学系としての研究と差別化するのは、距離に関係する測地線の最短性なので、最短測地線の研究や最小点軌跡の研究を推進したい。その際に、前向き測地線と後向き測地線のそれぞれの最小点軌跡が現れるのでそれらの違いや関係を考察することがFinsler幾何学独自の研究である。
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| Causes of Carryover |
10月に国際研究集会の招待講演をすることになり、予定していた国内の研究集会に参加することができなかった、また、滞在費を主催者が支給されたため見積もった旅費よりも少なくて済んだ。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
計画作成時には予定していなかったタイでの国際研究集会で、招待講演をすることになったため、初期の計画よりも旅費を多く必要とする。研究打ち合わせ、研究成果発表、情報の収集を目的として、福岡工大（糸川、塩濱氏との研究打ち合わせ、4月）、タイ（最小点軌跡に関する国際研究集会、8月）、岡山大（幾何学シンポジウム、8月）、関西大（数学会秋期総合分科会、9月）、フィンスラー幾何学研究会（場所、日程未定）、熊本大学（測地線に関する研究集会、1月）、首都大学（数学会年会、3月）への出張旅費を必要とする。国内旅行 7万円×6、国外旅行 11万円×1と見積もった。研究に必要な消耗品（ノート、メモリ、書籍）費として、11,660円を使用する。
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