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2016 Fiscal Year Research-status Report

非対称距離空間の測地線の幾何学的研究

Research Project

Project/Area Number 15K13435
Research InstitutionNiigata University

Principal Investigator

印南 信宏  新潟大学, 自然科学系, 教授 (20160145)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2018-03-31
Keywords平行線の理論 / フィンスラー幾何学 / ブーズマン関数
Outline of Annual Research Achievements

ブーズマンが開始した平行線の理論は、非正断面曲率の完備リーマン多様体に関する無限遠点の幾何や測地流の研究などに多く利用されている。その際に重要な働きをするのが漸近線の関係が同値関係になることである。特に、測地流の研究では、ブーズマン関数が2階連続的微分可能になる性質が役立っている。しかし、一般に、ブーズマン流の定義では、平行線の関係は同値関係にはならないし、ブーズマン関数の2階微分可能性も成立しない。共役点を持たない完備リーマン多様体においては、測地線に沿う安定ヤコビ場が有界でるときに、平行線関係の同値性やブーズマン関数の2階微分可能性が証明されている。 本年度の研究において、完備フィンスラー多様体上で、平行線関係の同値性とブーズマン関数の2階微分可能性の関係を遠方の点までの距離関数の3階微分の有界性を使って明らかにした。この研究で採用した仮定と従来の仮定との関係は不明であるが、測地線に沿う安定ヤコビ場が有界でない2階微分可能なブーズマン関数は存在する。
ブーズマンの意味での平行線関係は射影変換を施しても保たれる。閉1次微分形式によるランダース変換は射影変換なので、平行線の関係が同値関係となる計量から同じ性質を持つ計量が容易に構成できる。このことに注意して、リーマン幾何では知られていない平行線関係が同値関係となるリーマン計量の構成法を見つけた。平行線の理論のもう一つの有用な応用は、平坦帯定理を用いたリーマン多様体の剛性定理であるが、フィンスラー幾何学で剛性定理を扱うのは不向きであることを示唆している。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

本年度の研究実績では、非対称な距離空間としてのフィンスラー幾何学にあまり貢献していないが、リーマン幾何学への一つの応用の仕方を提案した。しかし、閉1次微分形式によるランダース変換が射影変換である事実を思い起こしたことは、新規研究に大いに役立つように思われる。射影変換によって、共役点軌跡は不変であるが最小跡は変化する。したがって、1次元ド・ラームコホモロジー群と最小跡の変化の関係が研究対象となってきた。また、最小跡に関心が向いたことにより、最小跡の最近点に関するクリンゲンバーグの定理の研究やもっとも単純な最小跡構造を持つフィンスラー多様体の構造の研究にも進展している。

Strategy for Future Research Activity

フィンスラー計量から導入される内部距離に関する三角不等式は、大体ホイヘンスの原理と同値である。この事実は、ホイヘンスの原理が成り立つ現象が波の伝搬に止まらず広範な現象で起こりうることを示唆している。この観点に立って、三角不等式を中心においた研究を進める。波源から出た波が再会する点が最小跡である。最小跡の最近点に関するクリンゲンバーグの定理の研究から、距離関数の臨界点を調べ、多様体の位相構造の研究を進めたい。最小跡の微分可能な点と最短測地線の集合との間の関係の研究から始める。

  • Research Products

    (7 results)

All 2018 2017 2016

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (6 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results)

  • [Journal Article] Parallel axiom and the 2-nd order differentiability of Busemann functions, to appear in Publ. Math. Debrecen, (with Y. Itokawa2018

    • Author(s)
      N. Innami, Y. Itokawa, T. Nagano and K. Shiohama
    • Journal Title

      Publ. Math. Debrecen

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] カットローカスの最近点について2017

    • Author(s)
      印南信宏
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Place of Presentation
      首都大学東京
    • Year and Date
      2017-03-25
  • [Presentation] 非対称距離空間の幾何学2017

    • Author(s)
      印南信宏
    • Organizer
      研究会「直観幾何学2017」
    • Place of Presentation
      熊本大学
    • Year and Date
      2017-02-12
  • [Presentation] カットローカスの最近点に関する Klingenberg 補題の Finsler 版2017

    • Author(s)
      印南信宏
    • Organizer
      研究会「測地線および関連する諸問題
    • Place of Presentation
      熊本大学
    • Year and Date
      2017-01-08
  • [Presentation] The Finsler version of Klingenberg's lemma2016

    • Author(s)
      Nobuhiro Innami
    • Organizer
      51st Symposium on Finsler Geometry
    • Place of Presentation
      鹿児島県市町村自治会館
    • Year and Date
      2016-11-18
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 平行線の公理とBusemann関数の微分可能性2016

    • Author(s)
      印南信宏
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      関西大学
    • Year and Date
      2016-09-15
  • [Presentation] Voronoi diagrams and cut loci in surfaces2016

    • Author(s)
      Nobuhiro Innami
    • Organizer
      The Cut Locus : A bridge over differential geometry, optimal control, and transport
    • Place of Presentation
      King Mongkut's Institute of Technology Ladkrabang, Thailand
    • Year and Date
      2016-08-03 – 2016-08-06
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2018-01-16  

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