2017 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of geodesics for spaces with non-symmetric distances
| Project/Area Number |
15K13435
|
|---|
| Research Institution | Niigata University |
|---|
Principal Investigator |
印南 信宏 新潟大学, 自然科学系, 教授 (20160145)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 測地線の幾何学 / フィンスラー幾何学 / カットローカス / 測地円 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
リーマン幾何学の球面定理などの位相構造を決定する問題では、カットローカスが重要な役割をしている。特に、点からのカットローカス上の最近点で何が起きるかが重要であった。クリンゲンバーグはこの最近点で起きることを解明して、球面定理の証明に成功した。 すなわち、最近点までの最短測地線に沿ってその点が共役点でなければ、最短線がちょうど２本ありその接ベクトルは最近点で一次従属となる。その後に、ベルジェや大森によって、点からカットローカスの最近点までの２本の最短線が一次独立の場合にどのようなことが起きるか解明された。最短測地線の接ベクトルの立場からはこのように述べられるが非対称計量の幾何学ではこの状態をうまく記述できない。これは、基本テンソルから定まる内積が接ベクトルに依存するので、距離球の接空間の状態とその法ベクトルとしての測地線の接ベクトルの関係を内積を使って記述した場合に対応が崩れてしまうことによる。そこで、距離球の接空間を接ベクトルの双対ベクトルで表すと接空間の一致が双対接ベクトルの一次従属性で表現され、フィンスラー幾何学においてもクリンゲンバーグの補題や、ベルジェー大森の定理が同様の形式で成り立つことになる。これを証明し、その応用として、点付きブラシュケ・フィンスラー多様体の位相構造の研究に役立てた。
リーマン計量の入ったトーラス上のある点を中心とする測地円は十分大きな時間の経過後は、ε稠密になることの証明に成功した。それを一般化した形で、向き付け可能、有限連結な測地的凸なフィンスラー曲面に対する測地円の漸近的な挙動の研究が開始できた。完備性の仮定や境界を持たないという仮定なしで同様の性質が成り立つと予想された。
|
