2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K13436
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山口 孝男 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00182444)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 線織面 / CAT(1)-空間 / 漸近的自己相似集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
・曲がった空間上のフラクタル幾何
これまで実質的にユークリッド空間において研究されていた自己相似集合を、曲がった空間上の漸近的自己相似集合の概念に拡張し、そのハウスドルフ次元を決定した。例として、曲面上のシェルピンスキー・ガスケットのハウスドルフ次元を決定した。
・２次元CAT(1)-空間の局所構造の研究は、曲率の上界の本質を追求する上で重要である。これに関連して、CAT(1)-空間内の線織面が内部距離に関して再びCAT(1)-空間になるかどうか考察した。A.D.Alexandrov自身の関連研究によれば、内部距離の代わりに線織面を写像とみなし、定義域のパラメータを用いた距離を考えると、これはCAT(1)-空間になる事が知られている。今年度はこのAlexandrovによる証明の改良を試みた。線織面内で衝立て状に二つの領域が交差する部分（悪い部分）が、これら二つの距離の相違を生じる。線織面上の１点から出る２本の最短測地線が、有限個のパラメータ以外にこれらの悪い部分を通過しなければ、その点における角度に関する比較定理が成り立つことが解明された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
CAT(1)-空間内の線織面が内部距離に関して再びCAT(1)-空間になることを証明するための具体的アイデアが得られた。線織面内の衝立て状に二つの領域が交差する部分（悪い部分）が、内部距離とパラメータによるAlexandrov距離の相違を生じる。線織面上の１点から出る２本の最短測地線は、一般には無限個のパラメータでこれらの悪い部分を通過する可能性があるが、その場合は本質的に有限個のパラメータのみに、無視できない正の密度が生じていることも判明した。
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| Strategy for Future Research Activity |
CAT(1)-空間内の線織面が内部距離に関して再びCAT(1)-空間になることを証明するために、線織面内の衝立て状に二つの領域が交差する部分（悪い部分）が、内部距離とパラメータによるAlexandrov距離の相違を生じる。線織面上の１点から出る２本の最短測地線は、一般には無限個のパラメータでこれらの悪い部分を通過する可能性があるが、その場合は本質的に有限個のパラメータのみに無視できない正の密度が生じている。ここの処理の仕方を工夫することで、問題を２本の最短測地線が、有限個のパラメータのみでこれらの悪い部分と交わる場合に帰着させたい。
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| Causes of Carryover |
購入したかった本の在庫がなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
購入したかった本を購入する。
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