2016 Fiscal Year Research-status Report
ビッグデータ可視化手法による安定写像構成イノベーションへの挑戦
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15K13438
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小林 真人 秋田大学, 理工学研究科, 准教授 (10261645)
山本 卓宏 九州産業大学, 工学部, 准教授 (60435972)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 特異ファイバー / 多様体対 / 可視化 / ビッグデータ / 普遍複体 / 同境群 / ファイバー曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可微分多様体間の位相的安定写像全体は，写像空間において稠密であり，どんな写像も安定写像で近似できる．ところが驚くべきことに，具体的な安定写像，特に幾何学的に重要な性質を持つ安定写像を具体的に構成することは非常に困難であることが知られている．実際これまで，そうした具体的な安定写像を構成する方法として特に確立されたものはなく，状況に応じてアドホックな方法を用いて構成されてきた．そこで本研究では，これまでにない方法，特にコンピュータサイエンスにおけるビッグデータ可視化の手法を本質的に応用することにより，まったく新しい手法によりシステマティックに安定写像を構成する方法論を確立する．そして具体的に構成した安定写像を厳密に検証・論証し，微分トポロジーにおける種々の問題に応用し，安定写像論のイノベーションを推進することが当初の目的である．
平成28年度は，そうした構成法に用いるため，多様体対，特に3次元多様体とその中の2次元部分多様体の対の上の安定写像の特異ファイバーの分類を進め，分類結果を得た．また，対応する普遍複体のコホモロジーを計算することで，ある場合には対応する同境群が非自明となることを初めて示した．また，3次元実射影空間から平面への安定写像を，4面体からの写像をもとに具体的に構成し，その構造を詳しく解析した．
また可視化を行うユーザーインターフェース作成には至っていないが，特異ファイバーを曲線に沿ってつなげてできるファイバー曲面の可視化アルゴリズムの研究を行い，コンピュータサイエンスの研究者と共同でその可視化を実装することができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多様体対上の安定写像の研究はこれまでほとんどなく，その特異ファイバーの研究としては世界で初めてとなる分類結果を得たことは特筆に値する．多様体対は応用上非常に重要であり，境界を持つ多様体の一般化にあたる．これにより本研究課題が予定通り，もしくはその予想を超える形で遂行できる期待ができるようになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
多項式写像の可視化ユーザーインターフェースが平成27年度に開発できたので，それを用いて，これまで特異ファイバー構造や安定摂動が解明されていなかった具体的写像の様子を解析する．また，多様体対上の安定写像の可視化も可能とするユーザーインターフェースの開発を目指す．さらにそうした計算機による解析を，特異点論を用いた数学的議論により検証し，その理論的裏付けの研究を行う．ただし，そうした研究の中で，現在のユーザーインターフェースでは不十分となる事態も予想される．そうした際には再びコンピュータサイエンスの研究者の協力を仰いで，ユーザーインターフェースの改良，および新たな開発を行っていく．また，そうした研究を，具体的な安定写像の厳密な構成へと応用し，種々の問題の解決や新たな問題の発見へとつなげてゆく．
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| Causes of Carryover |
研究連絡などのための出張旅費に関して，平成28年度においては旅程を計画していたものより短くするなどし，その代わり平成29年度に研究連絡を追加で行ったり，研究成果の発表のために使用した方が効果的な議論につながるなど，有効に資金を活用できると判断したため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
主に，研究連絡や成果発表のための旅費に使用する．
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[Presentation] 多角形の全周投影変換2017
Author(s)
佐野貴志，小林真人，山本稔
Organizer
日本数学会2017年年会
Place of Presentation
首都大学東京（東京都八王子市）
Year and Date
2017-03-24 – 2017-03-24
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