2016 Fiscal Year Research-status Report
強磁性イジング模型の未解決領域における振る舞いの解明
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15K13440
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
坂井 哲 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (50506996)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | イジング模型 / 臨界現象 / 1-arm指数 / 低温相 / 確率幾何的表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題は，強磁性イジング模型に対する次の二つの未解決問題に取り組むことである．（1）プラス境界条件下における有限系1スピン期待値の自発磁化への収束の様子を明らかにすること．（2）低温相において帯磁率（＝プラス境界条件下における2スピン共分散の和）が収束すること．
どちらの問題でもカギとなるのは，「ランダムカレント表示」と呼ばれる確率幾何的表現である．この表現を用いると，「プラス境界条件下における有限系1スピン期待値」は原点からのクラスターが境界に達するパーコレーション事象に関する量，「プラス境界条件下における2スピン共分散」は2点を同時に含むクラスターが有限であるパーコレーション事象に関する量として解釈できる．その結果，（1）の問題に関して，次元が4より上であれば，臨界点直上における減衰の速さを特徴づける1-arm指数が1以下となることを証明することができた．これは従来のハイパースケーリング不等式による上限(d-2)/2（dは空間次元）を遥かに改善したものになっている．Markus Heydenreich氏と半田悟氏との共著が完成し，Charles Newman氏の70歳を記念したfestschriftに掲載される予定である．
また，（1）と（2）の両方を低温相で評価することにも着手し始めた．関連するパーコレーションの問題と比較し，イジング模型では分配関数が1ではないことをどのように克服するか，現在試行錯誤をしながら知識を蓄えつつある状況である．現在のところ，指数関数減衰を導出するために必要なパーコレーション事象の分解が出来ている段階である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述した通り，Markus Heydenreich氏と半田悟氏との共著が完成し，高次元における1-arm指数の上限が特定された．この上限は従来のハイパースケーリング不等式による上限に比べて格段にシャープで，これ以上の改善は望めない．その意味で，1-arm指数に関する問題の半分以上は目標を達成することができた．残るは，高次元における加減がであること，すなわち高次元では1-arm指数が1に退化することを証明するのみである．
また，低温相における（プラス境界条件下における）有限系1スピン期待値と2スピン共分散の確率幾何的表現は既に得られており，予想されている指数関数的減衰を示すために必要とされる「稀な事象への分割」も出来ている．残るは，分配関数が1ではないことを念頭に置きつつ，どのように指数関数的減衰を導き出すか，ということに尽きている．
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| Strategy for Future Research Activity |
高次元1-arm指数の上限は得られたので，残る下限評価に取り組みたい．その際，重要となるのが，ランダムカレント表示におけるクラスターサイズの分布である．このような量を調べた先行研究は存在しないため，1-arm指数の評価に使えるかどうかに拘らず，意義のある結果となることが予想される．母関数の微分不等式を導出することにより，クラスターサイズの分布の情報を導き出せるのではないかと考えている．Markus Heydenreich氏と半田悟氏と共同研究を続ける予定．
また，低温相における（プラス境界条件下における）有限系1スピン期待値や2スピン共分散が指数関数的に減衰することを証明するためには，それらの確率幾何的表現を得ることと，規格化されていない（すなわち分配関数が1ではない）量の差をコントロールすることである．前者は既に得られているので，後者をどのように克服するか，共同研究者の半田悟氏と試行錯誤しつつ解決する予定．
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| Causes of Carryover |
理由の一つは，本年度は業務が多忙（年間出張回数が前年比2.4倍）で，PCを購入してアップグレードすることができなかったこと．もう一つは，次年度に国際研究集会を行なう計画を立て，海外ゲストへの旅費などを捻出する余裕を持たせたかったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
予定していたPC購入を行ない，古いOSからのアップグレードを行なう予定．また，7月に国際研究集会を行ない，海外ゲスト4人の旅費などをまかなう予定．
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