2017 Fiscal Year Annual Research Report
Toward the construction of a new kind of Teichmueller space and its analysis
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15K13441
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / アフィン構造 / 射影構造 / 基本群の表現 / 周期行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，各リーマン面上でカスプにおいてたかだか１位の極を持つようなアフィン構造のなすタイヒミュラー空間のアフィン束の複素構造に重点を置いて研究を行った．特に宮地秀樹氏（大阪大学）との議論により，射影構造の場合と同様，そのような束が（基点となる）リーマン面の基本群のアフィン群への表現全体のなす空間と同一視できるということがわかった．このようなものは，基本群のアフィン変形空間とみなせるが，そのような変形空間の大域的なパラメータを（射影構造の場合における擬フックス群のように）擬等角写像を用いて構成することが今後の課題である．
一方，そのような特別なアフィン構造のなす空間には通常の周期行列と，留数によってパラメータ付けされることを用いて複素構造を自然に導入することができ，特にどのような基底を取ることが便利かという点について検討を行った．上記アフィン構造のなす空間において，多角形による構成によって得られるリーマン面がどのような位置を占めるかという問題については，本年度も研究を行ったが最終的な結論はまだ出ていない．
なお，カスプにおいて極を持つようなアフィン構造は，局所的にはカスプをある対数螺旋に沿って”捩る”変形によって実現されることがわかった．このことと，基点のリーマン面のカスプが適当な錐角を持つ場合に，錐角の変化を追跡すること（あるいは，追跡できる場合を限定すること）が今後の課題となった．
対数螺旋については，幾何学的函数論の観点からも研究を行い（王利梅氏との共同研究），双曲計量そのものについてもいくつか関連する研究を行った（一部，張坦然氏との共同研究）．
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