2017 Fiscal Year Annual Research Report
The structure of chaotic regions for area-preserving maps
| Project/Area Number |
15K13444
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 力学系 / 分岐 / カオス / くりこみ / フラクタル |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
2次元トーラス上の標準写像はカオス的挙動をもつとされる面積保存写像の典型例である。その研究のための第一歩として、1次元標準写像（アーノルド族）の分岐現象を考察した。アーノルド族は z-> z + α + β sin(2π z) （ここで α, β は実数）で定義されるが、相空間変数 z とパラメータ α を複素化して考えた。 主に非線型性パラメータ β を小さな正の実数として固定したときに、パラメータ α の空間での分岐集合の構造を研究した。特に主要な放物型パラメータの周りに分岐集合が「指」状のパターンをもつことが以前から知られていたが、これについて、放物型不動点の分岐の理論、特にFatou座標を用いた解析を行い、それが生成される原理を解明した。そのためには、摂動された放物型不動点のの周りでの再帰写像を定義し、それを摂動前のFatou座標と結びつけることにより、新しい分岐パラメータ（Ecalle円筒上の平行移動に対応する）を導入した。指状集合はこの新しい座標によれば、平行な帯状領域になり、指が有限個であること、その個数の大まかな評価が与えられることを発見した。
また、実写像のパラメータ空間においてカオス的なパラメータ集合の測度を下から評価するために、そのような評価の典型的な例である、実2次多項式族に関するJakobsonの定理を複素解析的な手法で証明すると共に、その測度の具体的な数値による評価（過去の実解析的手法では10の-5000乗という評価）を与えるための研究を行った。まず、複素二次多項式の相空間とパラメータ空間のYoccoz puzzleおよびpara-puzzleを用いたJakobsonの定理の証明を与え、それを用いて実2次多項式族のカオス的パラメータの測度の下からの評価を与えた。
|
Research Products
(5 results)
