非可換確率論の基本構造－独立性概念の構成と分類

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K13446
• Research Institution: Iwate Prefectural University
• Principal Investigator: 村木 尚文 岩手県立大学, 総合政策学部, 教授 (60229979)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 非可換確率論 / 量子確率論 / q-独立性 / 自由独立性 / q-畳み込み / q-キュムラント

Outline of Annual Research Achievements

本研究は、非可換確率論における独立性の概念の構成と分類を行うことが目標である。本年度は以前から研究を続けているｑ-変形独立性について、その基本的な性質を探求した。特に、q-変形畳み込みの性質を調べた。q-変形畳み込みをすべてのモーメントが有限な確率測度に対して定義することは形式的には可能である。そして、特にコンパクト台の確率測度に対してはモーメント問題が determinate となるため q-変形畳み込みを確率測度として定義できる。しかしながら、モーメント問題が determinate でない場合は、組合せ論的な方法では q-畳み込みを定義できないため別の方法を工夫する必要がある。この問題意識の元で、2次のモーメントが有限な確率測度に対して q-畳み込みを定義することを試みた。具体的には、確率変数のヒルベルト空間における標準的な実現に基づいてq-畳み込みを定義することを考察中である。この議論がうまくいくかどうか未知の部分もあるため、もう少し詳しく調べることが必要であり、このことは次年度の課題としたい。この q-変形独立性は、q-積という筆者が構成した普遍積により実現できるのであるが、実はこの q-積は結合法則を満たしてはいない。そこで、この q-積の構成を足がかりにして、結合法則を満たすとは限らない一般の普遍積の構成法を見出すことを現在試みている最中である。一般の普遍積の構成法とそれに伴う独立性概念を見出すことは、非可換確率論にとり基礎的な仕事であり、重要な意味を持っていると考える。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

計画通り順調に進行していると自己評価できるため。

Strategy for Future Research Activity

計画通り研究を進めるため数学計算のためのソフトである Mathematica を購入することを考えている。紙の上での手計算による研究と Mathenmatica 使用による数学実験を併用し、効率的に研究を進めることを考えている。また、国内国外での研究集会に参加し、最新の研究動向にも目を配らせたい。

Causes of Carryover

大学運営等に時間をとられたため、研究集会等に参加する時間をとることが難しかったため、研究費を有効に使用する機会が限定されてしまった。そのため研究費を計画通りに使用することができず、いくらか次年度に積み残すこととした。

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度も大学運営に時間をだいぶとられることになりそうであるが、できるだけ機会をとらえて研究集会等に参加し、研究推進のため最新の情報を獲得することに研究費を使用する計画である。