2017 Fiscal Year Annual Research Report
Inverse scattering theory for Schroedinger operators by probabilistic method
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15K13447
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 逆散乱理論 / S行列 / 離散シュレーディンガー作用素 / 確率分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究の目標は格子上で定義された離散化されたシュレーディンガー作用素に対してランダムに変化するポテンシャルの確率論的情報を、散乱現象を記述する基本的物理量であるS行列から導くことである。特に確率分布の共分散を表す作用素を求めることを主な目標とする。先行研究として連続モデルのシュレーディンガー作用素に対しては高エネルギー近似が用いられたが、離散モデルには高エネルギーの概念がないため、近似の度合いを示すパラメータとしてメッシュ幅 h をとり、h がゼロに近づくときの漸近近似としてポテンシャルの確率分布を記述することを目標とする。その際に必要になるレゾルベントの h に関する一様評価が低次元の場合に自由ハミルトニアンに対して得られた。これによりポテンシャルがメッシュ幅に比べて小さい場合には散乱行列のメッシュ幅に関する漸近展開が得られる。さらに深い結果を得るため、次のステップとして離散モデルのレゾルベントの連続モデルのレゾルベントへの収束を論じる必要があるが、これはシュレーディンガー作用素の基礎に関連する困難な問題である。そのため、現在行われている線形、非線形の近似問題、さらに数値計算における近似スキームを研究し、有力と思われる近似スキームを得た。特にに自由ハミルトニアンに対してはエネルギーまでこめた関数空間において離散シュレーディンガー作用素のレゾルベントの収束が分かるが、これは予想される一般の場合のプロトタイプとなる。この研究に関連して連続モデルの3次元シュレーディンガー作用素に対する新しいトレース公式を導いた。これは離散モデルにも拡張可能である。
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