2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K13450
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
名和 範人 明治大学, 理工学部, 教授 (90218066)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 確率微分方程式 / 非線形シュレーディンガー方程式 / 走化性方程式 / 解の爆発 / 重対数法則 / 古典乱流 / 乱流の可視化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，様々な数理モデルに現れる非線形偏微分方程式の解の性質を確率論的手法を用いて解析したり，乱流のように偏微分方程式の解の族が示す集団的＼統計力学的な性質（マクロな論理）の探求を通して，非線形偏微分方程式論と確率解析をより高みから俯瞰できるような数学解析の新しい理論の構築を目指している。
一つの具体例として，非線形シュレーディンガー方程式の解の漸近挙動をその背後にあるネルソン拡散過程を利用する系統だった解析手法の確立を目指している。擬共型不変な方程式の場合，爆発解の爆発速度は拡散過程を定める伊藤型確率微分方程式にあるブラウン運動の重対数法則が現出したものであることが分かった。下からの評価は一般的に成立するが，上からの評価は爆発解の生成する特異点の形状に強く依存しているようであり，より詳細な情報を得るために等高線の方法や，非圧縮性オイラー方程式で開発された散逸的弱解の構成手法を導入するなどして解析を進めている。また，粘菌などの生態をモデル化した走化性方程式の解対しても同様な拡散過程を構成できそうで，この爆発解の解析にも取り組もうとしているところである。これらの非線形偏微分方程式は決定論的なものであり，方程式の中に確率論的な項が組み込まれているわけではないことを注意しておく。
マクロな論理の探求の対象として，確率過程論の立場から古典乱流のモデルの再構築を数年来行っているが，この研究の中で出会った非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解は，解の一意性は成り立たないものの，統計力学的な視点を導入することにより偏微分方程式に新しい知見をもたらす可能性が高いように思われる。直感的なイメージを得るために，散逸的弱解を数値解析的に可視化する試みに着手した。このような解の存在証明で用いられたアイデアは，上述のように非線形シュレーディンガー方程式に対しても有効である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
非線形シュレーディンガー方程式の爆発解が生成する特異点形状に関して，さらなる情報を得ようと，以前の科研費研究課題で提唱した解の等高線を追跡する方法を再び援用しようと考えたが，やはり困難が伴う。また，解の位相部分の性質を知るために，非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解の構成に使われた手法と類似な方法を模索しているが，シュレーディンガー方程式の解析に適合したものにするには至っていない。そこで，直感的な理解も重要であろうと，オイラー方程式の散逸的弱解を可視化するべく，数値計算を行うべく研究協力者と議論を始めたが，弱解は解が滑らかではないため，単純な差分法とはいかず，実際に解を構成している数学理論を実装するような手法を取るべくアイデアを出し合ったり議論を重ねているところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究や理論方向性の正しさを確認するために，直感的な描像を得ることも重要であろうと数値的な検証も行おうと，研究協力者たちと，非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の解析や非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解の可視化の議論をすでに始めている。このように，研究協力者との議論をより密にして継続し，走化性方程式の解の解析も同時に進めるべく，研究集会への参加機会も増やして最新の研究動向の調査も行っていく。
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| Causes of Carryover |
大学の業務などの諸事情により，海外の研究協力者との研究打ち合わせや，国内外の研究集会などの参加機会が制限されて，予定したような情報収集活動を十分に行うことができなかった。また，数値計算による解析も模索したが，予備的な数学的な議論に注力しているところで実際の機材やソフトの購入は今後の議論の進展に応じて対応したい。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
最近の研究動向や情報収集のために研究集会やセミナーへ参加できるようにスケジュールの調整を行う。乱流の可視化などの議論を京都大学の松本剛助教と行っているが，直接に顔を合わせて議論する機会を増やす。同じく，京都大学の坂上貴之教授とも乱流モデルに関する議論の機会を作っていく。最近では，様々な数理モデルにおいて力学系的な視点の重要性が増してきていると認識しているが，京大の矢ヶ崎一幸教授とは力学系を用いて，従来とは異なる方法で非線形シュレーディンガー方程式の定在波解の性質を調べているが，このような方向性は有望であるように思われるので，矢ヶ崎一幸教授と直接会って議論する機会も増やしていく。また，非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の解析に関しては，理論と数値計算の両面で，芝浦工大の石渡哲哉教授との議論の機会を多く持とうと考えている。
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