2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K13450
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 確率微分方程式 / 非線形シュレーディンガー方程式 / 走化性方程式 / 解の爆発 / 重対数法則 / 古典乱流 / オイラー方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，様々な数理モデルに現れる決定論的な非線形偏微分方程式の解の性質を確率論的手法を用いて解析したり，乱流のように（決定論的な）偏微分方程式の解の族が示す集団的＼統計力学的な性質（マクロな論理）の探求を通じて，非線形解析と確率解析をより高みから俯瞰できるような新しい数学理論の構築を目指している。
一つには，非線形シュレーディンガー方程式の解の漸近挙動をその背後にあるネルソン拡散過程を利用する系統だった解析手法の確立を目指している。擬共型不変な方程式の場合，爆発解の爆発速度は拡散過程を定める確率微分方程式に含まれるブラウン運動の重対数法則が現出したものである：下からの評価は一般的に証明できるが，上からの評価は爆発解の生成する特異点の形状に強く依存しているように見える。上からの評価のため，特異点を記述する基底波解の性質などを調べる必要があり，力学系的な手法を導入したり従来の変分法的手法を発展させた解析を行っている。また，粘菌などの生態をモデル化した走化性方程式の解に対しても同様な拡散過程を構成することが可能であることが分かって来て，この方程式の爆発問題を専門としている研究者と議論をスタートさせた。
マクロな論理の探求の対象として，確率過程論の立場から古典乱流のモデルの再構築の試みを続けている。こちらも研究を遂行する中で非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解の重要性に気がついた。散逸的弱解に一意性は成り立たないものの，解の集団としては，エネルギー散逸率の定義を新しく定めることにより，統計力学的な視点を導入することが可能であると思われる。また，この解の存在証明で中心的な役割を果たしているホモトピー原理は，従来の解析的な立場からの非線形研究偏微分方程式に新しい知見をもたらす可能性が高いと思われるが，直感的なイメージを得るのが難しい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
非線形シュレーディンガー方程式の爆発問題を考える上で，基底波解の性質を知ることは大変重要になってくる。非線形性によっては基底波解が複数存在することもあり得ることが，力学系的視点から数値計算を援用することで見えてきた。また，ある条件下では変分法的な手法を用いることにより一意性が成立していることがわかった。これら自身，面白い結果ではあるが爆発解の解析を一歩進めるためには，まだ満足のいく状況にはない。今年度も前年度に試みた，以前の科研費研究課題で提唱した解の等高線を追跡する方法の援用を考えたが機能していない。解の位相部分の性質を知るために，非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解の構成に使われた手法と類似な方法の模索も継続しているが，まだシュレーディンガー方程式の解析に適合したものにするには至っていない。直感的な理解のために，オイラー方程式の散逸的弱解の可視化を目指して数値計算を行うべく研究協力者と議論を始めていたが，この議論は頓挫してしまったままである。
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| Strategy for Future Research Activity |
走化性方程式の爆発解で使われている解析手法を非線形シュレーディンガー方程式の解析に援用できないか，また，その逆も可能であるかもしれないと，走化性方程式の研究者との本格的な議論を開始した。まだ始まったばかりではあるが，今後も議論や情報交換を進めていく。
非線形偏微分方程式の爆発解の爆発の速さを数値解析的に解析するにあたって，方程式にある種の相似性があれば，その性質をうまく利用して爆発解の爆発の速さを決定するアルゴリズムが研究協力者の他の研究課題（本課題の代表者も分担者となっている）遂行中に見つかった。このアルゴリズムが擬共型不変な非線形シュレーディンガー方程式に対しても有効かどうかは確認する必要がある。もし，有効であれば本研究課題の推進に大いに役立つと考えられる。
昨年度同様，研究や理論方向性の正しさを確認するために，直感的な描像を得ることも重要であると考えられるので，数値的な検証も含めて，研究協力者たちと非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の解析や非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解の可視化の議論を深める。このように，研究協力者との議論をより密にして継続し，走化性方程式の解の解析も同時に進め，研究集会への参加機会も増やして最新の研究動向の調査も行っていく。
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| Causes of Carryover |
８月の母の死後，家族の問題や自分自身の健康上の問題が複数持ち上がり，秋以降，研究活動を遂行することが困難な状況が続いている。健康状態は回復傾向にあるが，ほとんど，講義などのルーティンな業務をこなすのが精一杯というのが実情であった。このために，海外の研究協力者との研究打ち合わせや，国内外の研究集会などの参加機会が制限されて，予定していたような情報収集活動や解の爆発問題や流体などの数値計算，また走化性方程式の爆発問題の専門家との議論の機会を十分に得ることが大変に難しかった。乱流の可視化を目指した数値解析の議論も頓挫してしまった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
最近の研究動向や情報収集のために研究集会やセミナーへ参加できるようにスケジュールの調整を行う。乱流の可視化などの議論を京都大学の松本剛助教と行っているが，直接に顔を合わせて議論する機会を増やす。同じく，京都大学の坂上貴之教授とも乱流モデルに関する議論の機会を作っていく。最近では，様々な数理モデルにおいて力学系的な視点の重要性が増してきていると認識しているが，京大の矢ヶ崎一幸教授とは力学系を用いて，従来とは異なる方法で非線形シュレーディンガー方程式の定在波解の性質を調べているが，このような方向性は有望であるように思われるので，矢ヶ崎一幸教授と直接会って議論する機会も増やしていく。また，非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の解析に関しては，理論と数値計算の両面で，芝浦工大の石渡哲哉教授との議論の機会を多く持とうと考えている。
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Research Products
(4 results)
