2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K13451
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 集合値関数 / 非線形放物型方程式 / 劣微分作用素 / 非線形発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
N-次元ユークリッド空間の有界領域Ωにおいて，次の半線形放物型方程式の初期値・斉次ディリクレ型境界値問題： du/dt - △u + β(u) + G(x,t,u) = f(x,t), u(x,0) = u_0 の解の存在について研究した．ここで，β(u) は（多価）単調作用素，摂動項 G(x,t,u) は一価関数の連続性に集合値関数への拡張概念である，上半連続性(usc)及び下半連続性(lsc)を有する集合値関数．G(x,t,u) が通常の一価関数である時には，G(x,t,u) の u に関するソボレフ劣臨界増大条件のもとで，時間局所解の一意存在定理がよく知られているが，G が集合値関数の時には，G の u に関するソボレフ劣臨界増大度はもとより，一次以上の増大度条件の下でも，対応する結果は存在しなかった．本研究では，一気に G が一価の場合の最良な結果を，集合値関数の場合に拡張することに成功した．
本研究ではさらに (1)「β(u) が G(x,t,u) より優位である時には時間大域解の存在し」(2) 「G(x,t,u) が β(u) より優位な時でも，初期値が十分小さければ，時間大域解が存在する」ことも示した．
X を Ωx(0,T) 上の二乗可積分空間とし，X の元 h に対して，du/dt - △u + β(u) ＋h = f(x,t), u(x,0) = u_0 の解を u_h とするとき多価写像 Ψ: h → G(x,t,u_h) に対して，Kakutani-Ky Fan の不動点定理や Tolstonogov のselection 定理を経由したシャウダー型の不動点定理をΨに適用する事により時間局所解を構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
半線形放物型方程式の初期値・斉次ディリクレ型境界値問題に対しては，ほぼ当初の計画通りの結果がえられたが，研究協力者 Vasile STAICU 教授（アヴェイロ大学・ポルトガル）が個人的な理由により，共同研究に十分な時間が取れなかったことが原因で，その後の進展が滞っているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
半線形放物型方程式の初期値・斉次ディリクレ型境界値問題に対する成果を纏め論文の作成・投稿を進めるとともに，時間周期問題：
du/dt - △u + β(u) + G(x,t,u) = f(x,t), u(x,0) = u(x,T) の解の存在について，研究をを推進する．初期値・境界値問題の研究で培った知見が有効に機能するものと期待される．
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| Causes of Carryover |
研究協力者 Vasile STAICU 教授（アヴェイロ大学・ポルトガル）が個人的な理由により，共同研究のために日本を訪問することが出来ず，海外出張旅費に余剰が生じた為．
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Research Products
(10 results)
