2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K13460
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 眞 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70231602)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 準モンテカルロ法 / 超一様点集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モンテカルロ積分とは、高次元空間用の関数の積分値を数値的に近似する手法であり、一様乱数を用いる。これに対し、準モンテカルロ法とは、空間内に超一様に点を配置してそこでの関数値を平均することで、より高速で精度の良い数値積分を行う手法である。本研究は準モンテカルロ法における超一様点集合を構成し、また、それが有効にはたらく被積分関数を探すことに主眼をおく。
本年度においては、諸科学にあらわれる「多変量正規分布の累積度関数」の数値積分に対し、WAFOMという指標により選出された点集合が、現在広く使われているMathematicaやRなどの標準的アルゴリズムよりも、高速かつ精度よくはたらくことを実験的にしめした。WAFOMの有用性は、2015年7月オーストリアで開催されたMonteCarlo Method 2015にて松本が口頭発表を行い、多変量正規分布における高速性は、研究代表者との共同研究として指導学生森信輔が同会議にて口頭発表を行っている。また、同会議にて、連携研究者原本は、NISTの乱数検定法の問題点と3重検定法を提起した。連携研究者原瀬は、(t,m,s)-netと呼ばれる超一様点集合に対してlinear scramblingをほどこすことによりWAFOM値を減らすことに成功した。得られた点集合は、もとの点集合よりも高速な誤差収束を示している。また原瀬は、擬似乱数発生法SFMTにおいて、項数の少ない関係式の存在という欠点を示した。また、「駒場応用代数セミナー＠愛媛」を4月に愛媛大学で開催した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
準モンテカルロ法は多変量正規分布の計算にすでに用いられているが、本年度の研究により、従来の超一様点集合や近似積分法にくらべ、我々が提唱しているWAFOM点集合のほうが優位にあることが実験的に確かめられた。また、通常被積分関数の定義域の次元が大きくなる（たとえば8程度）と、準モンテカルロ法のモンテカルロ法に対する優位性が失われてくることが多かったが、今回の研究により定義域の次元が16程度でも準モンテカルロ法がはるかに有利である事例が観察された。（サンプル数Nに対し、モンテカルロ法の誤差の収束のオーダーはO(1/√N)であるが、s=16でも我々の方法はO(1/N)という高速な誤差収束を示している。WAFOM値自体の概念の拡張もすすみ、被積分関数や空間の次元に合わせるためのパラメータつきWAFOMの導入、その数値積分での有効性の実験による裏付けもすすんでいる。従来広く研究されてきたNiederreiterのt値を補うものとしてWAFOMは有効なものであることが示され、研究は順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
パラメータ付きWAFOMにおいて、パラメータをどのように設定するのが良いのかを探りたい。被積分関数の性質はよくわからないことが多いので、定義域の空間の次元と点の個数のみからパラメータを定める方法について研究したい。また、被積分関数も星の数ほどあるため、どのような被積分関数と相性が良いのかをさぐる。まずは多変量正規分布に集中し、相関が高い場合にも本方法が有効であるかを実験的にしらべる。他の超一様点集合、たとえばpolynomial lattice ruleや(t,m,s)-netとの比較を行いたい。現在、作りやすい(t,m,s)-netとしてはSobol系列があり、Sobol系列の変形により低WAFOM点集合を構成したい。より性能が高いと言われているNiederreiter-Xing系列は、実装例がややとぼしい。これは、代数曲線の有理点に絡んだアルゴリズムが必要となるためであり、今後この方面の研究者と連携をとりたい。
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| Causes of Carryover |
当初予定していた、多変量正規分布の累積密度関数についての研究が遅れ、成果発表が遅れたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本研究に関連して東京大学にて6月に開催予定の研究集会にて旅費として利用する。
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