2016 Fiscal Year Research-status Report
爆発現象の数値解析の新展開～爆発曲線、領域爆発、再爆発現象～
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15K13461
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齊藤 宣一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00334706)
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
佐々木 多希子 早稲田大学, グローバルエデュケーションセンター, 助手 (30780150)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 爆発解 / 非線型現象 / 微分方程式 / 爆発オーダー / 爆発領域 / 爆発曲線 / スケール不変性 / 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線型微分方程式の解の爆発現象について、平成28年度は主に下記の研究を行った。（１）準線形放物型方程式の爆発解について、その爆発領域の特徴づけを数学的および数値的に行った。（２）（１）の場合の爆発オーダーについて、限定的な状況での数学解析を進めた。（３）（２）を受け、一般的にスケール不変性がある方程式の場合に、リスケーリングアルゴリズムを用いた爆発オーダーの数値的推定法を構築した。（４）非線形項に未知関数の導関数を含む，半線形波動方程式の爆発曲線の正則性について解析を行った．特に，球対称な半線形波動方程式及び非線形波動方程式のシステムに対して，爆発曲線が連続微分可能となるような初期値の十分条件を与えた．（５）方程式がある種の非局所性（積分項やタイムラグなど）を持つ場合の解の爆発現象に対する数学解析および数値解析を行った。（６）非線形シュレーディンガー方程式の解の挙動を確率解析を用いて解析する新しい方法論を模索した。特に，爆発解の爆発スピードと解の背後にあるネルソン拡散過程の関係をブラウン運動を通して明らかにした。また，定在波解の多重存在存在について力学系的手法と数値解析を通して解析を行った。（７）（６）について、（３）で得られた爆発オーダーの数値的研究を開始した。（８）離散Sobolevの不等式と作用素の分数べきのグラフノルムとの関係に着目し、従来の研究では扱われていなかったような、かなり一般的な非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式に際する差分スキームの誤差解析手法を提案した。結果的に非線形項の増大度に対する仮定のみで、最大値ノルムでの誤差評価が系統的に導出できるようになった。この結果を、ある特別な非線形性を持った非線形シュレディンガー方程式の爆発時刻近似問題に応用し、熱方程式や波動方程式に対応する結果が得られることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画に上げた３つのテーマのうち、爆発領域および爆発曲線についての研究は十分な成果を得られている。もう１つの再爆発現象については、予想通りの困難さが未だに残っているが、こちらについては粒子的な方法での数値解析の準備として、ＳＤＥの爆発問題の数値解析の研究を進展させており、次年度においてそれを適用できると考えている。また、扱った問題から派生した非局所的な問題など、新たな問題意識も得られており、次につながる研究課題としても順調に進行していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
領域爆発については、数値的にはかなりいろいろな状況での研究が進展したが、差分解そのものの領域爆発については理論的解析が進んでいないので、これを進める。爆発曲線については、現在のところ初期値に単調性のための強い仮定が残っており、これをどう緩和するか、および、多次元の場合についてどのように扱うかがこれからのテーマである。再爆発現象については、上記粒子的な方法とＳＤＥの爆発解析を合わせることで研究がすすめられると考えており、この方針で今後進めていく。また、関連して浮かび上がった非局所性を伴う問題についても、数学解析と数値解析を相補的に進めながら爆発解の性質を明らかにする。
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| Causes of Carryover |
海外出張について先方との日程が合わず次年度に持ち越したこと、および、招聘予定だった海外研究者が別予算で日本に来ることになり、その分が浮いてしまった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年度は、最終年度ということもあり積極的に内外での発表を行うほか、今後の研究への展開を考え、関連する内外の研究者を集めた研究集会を計画しており、それに予算を使用する予定である。
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