2017 Fiscal Year Annual Research Report
Development of numerical analysis of blow-up phenomena - blow-up curve, regional blow-up, multiple blow-up -
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15K13461
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齊藤 宣一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (00334706)
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
佐々木 多希子 早稲田大学, グローバルエデュケーションセンター, 助手 (30780150)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 解の爆発 / 爆発レート / 領域爆発 / 爆発曲線 / 再爆発現象 / 確率微分方程式 / 関数微分方程式 / スケール不変性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）曲率流に関連する準線形放物型方程式に対する領域爆発解について、リスケーリング・アルゴリズムによる数値計算から出てくるリスケール時間列の増大度に関する特徴から、数値的に爆発レートを推定する方法を構築した。この方法論はスケール不変性をもつ方程式に広く適用できることを数値例で示し、本研究課題の対象となっている方程式に適用し、これまで未解決だったtype II爆発解の爆発レートに対する数値的予測を与えた。更に、一般の場合についての数値計算から、これまで知られていない臨界指数が存在する可能性を指摘し、それを示唆する理論的結果を得ることもできた。
（２）非線形波動方程式の爆発曲線の問題について、理論的な仮定が成立しない場合、特に爆発曲線に特異点が現れるケースについて重点的に調べた。特異点近傍での爆発曲線の形状を調べるため、新たに半無限区間におけるゼロディリクレ問題を提案し解析を進め、数値的予測が正しいことを示した。
（３）再爆発現象を起こすことが実験的に予測されている非線形光学に関連する擬共型不変な非線形シュレディンガー方程式の非自己相似的爆発解についての数値計算をするために、この背景にある非線形確率微分方程式の爆発現象を再現するための数値的方法について考察した。これまで優臨界では確率１で爆発することが知られており、臨界の場合についての考察ができていなかったが、臨界かつパラメータがある条件を満たす場合の解の表現公式を得ることができた。これにより、爆発現象、特にサンプルに依存する爆発時刻の特徴付けをサンプルに依存しないある定数へのブラウン運動のfirst hitting timeとして特徴付けることを示し、これを用いた数値計算方法を提案した。
（４）球対称の場合の藤田型爆発問題に対する数値計算方法を構築した。
（５）非局所的問題についての爆発現象を示し、その数値計算方法の構築をおｋなった。
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