2017 Fiscal Year Annual Research Report
Phantom: A topological method to analyze macro-system and its singular perturbation
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15K13532
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
吉田 善章 東京大学, 大学院新領域創成科学研究科, 教授 (80182765)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | トポロジー束縛 / 自己組織化 / 渦 / 非正準ハミルトン系 / カシミール不変量 / リー・ポアッソン代数 / 葉層構造 / 流体力学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
剛体，流体，プラズマなどマクロ系に現れる構造や特異な運動は，これらの系に係わるトポロジー束縛の効果によるものだと考えられる．支配方程式をハミルトン形式に書くと，トポロジー束縛はポアッソン作用素の自明でない核（kernel）によるものだと理解できる．その核がカシミール不変量として積分できる場合には位相空間が葉層化され，カシミール葉に束縛された運動によってトポロジー束縛の効果が解析できる．しかし，一般のトポロジー束縛は非可積分である．本研究では，「ファントム」とよぶ抽象的な変数を導入して位相空間を拡張することで，非可積分な特異点を積分可能とし，その内部構造の解析に役立てることができることを示した．
流体やプラズマなどを通常の物理変数（密度や流速，磁場など）の位相空間で定式化すると非正準ハミルトン系になることがよく知られている．このような非正準構造は物理変数の下層にある正準変数に対する縮減が原因で生じたものだと考えることができる．正準変数としてクレブシュ変数を考えると，そのゲージ対称性に関するネーター電荷がヘリシティーである．正準変数にファントムを加えることで，物理変数に対する非可積分な束縛を局所的保存量（流れ場によってリー牽引される「電荷」）にして表現でき，流体やプラズマの構造が幾何学的に複雑化するプロセスを解析する道具となる．
本研究ではトポロジー的に制限されたベクトル場を表現する「epi-2D」という概念を定式化した．この概念は場を「粒子化」することができ，一般の3次元流体における渦構造の複雑化は，epi-2D粒子の相互作用によるものとして表現することができる．ファントムとして粒子の空間体積を表現していたパラメタは，2つのepi-2D粒子が衝突する，すなわち同時に同じ空間を占めるとき，互いの渦場を表現する実在する場となる．これにともなってヘリシティーが生じることが示された．
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Research Products
(6 results)
