2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K15942
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
谷川 眞一 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (30623540)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グラフ実現問題 / 半正定値行列補完問題 / 距離多面体 / odd-K4マイナー / 面的縮小法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
球面上へのグラフ実現問題の組合せ的側面の解明に向け，符号付き半正定値行列補完問題を提案し，実行可能領域と距離多面体の面構造の関係を明らかにした．この成果をもとに，グラフがodd-K4マイナーフリーの場合は，組合せ的多項式時間アルゴリズムで２次元球面への実現が求まることを証明した．さらにAravらによって最近証明されたColin de Verdiere parameterが2以下で抑えられる符号付きグラフの特徴づけを系として得た．
さらに実行可能領域と距離多面体の関係を利用して，半正定値行列補完問題の特異値の解析を行った．Borwein and Wolkowiczによって提案された面的縮小法は，グラフの実現問題に対するその有効性がDrusvyatskiy, Pataki, and Wolkowiczによって確認されている．本研究では，面的縮小の回数(特異値)が１回で抑えられるグラフの特徴づけを与え，Drusvyatskiy, Pataki, and Wolkowiczらの未解決問題を解決した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
距離不等式はグラフ実現問題において利用可能な最も単純な関係式であるが，これまで符号付きグラフの実現問題においては十分な理解がなされていなかった．本研究で距離不等式と半正定値補完集合との陽な関係性が明らかになり，プロジェクトの主要課題である組合せ的知見に基づくグラフ実現アルゴリズムの設計が，一部のグラフ族に対して達成された．さらに次のステップに進むために，どのグラフ族に着目すべきかが明らかになり，当初の計画以上に理論的側面の進展が可能であることがわかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
odd-K4マイナーを含む符号付きグラフの実現問題に取り組む．Aravらは符号付きColin de Verdiere parameterが3以下に抑えられる符号付きグラフの極小禁止マイナーのリストを予想している．この予想を手掛かりに，Colin de Verdiere parameterが3以下に抑えられるグラフの特徴づけを行い，その証明を構成的に行うことで，グラフの実現問題のアルゴリズムの設計を行う．
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| Causes of Carryover |
想定していたよりも研究の理論的側面が進んだため，本年度は研究成果の執筆に集中し，当初計画していた情報収集のための研究者訪問を延期したため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
情報収集のために予定していた研究者訪問を行い，本年度の研究成果の詳細な議論と検証を行う．そのための旅費として使用する．
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