2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K15942
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
谷川 眞一 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (30623540)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グラフの剛性 / 大域剛性 / 剛性マトロイド / 周期グラフ / 多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
グラフの実現問題において解の一意性を保障するために基本的な問題であるグラフの大域剛性に関して以下の２つの重要な進展が得られた．
(1) 多面体の剛性はCauchyの剛性定理以降，常に剛性理論の中心的話題である．Cauchyの定理は単体的凸多面体の1-skeletonの剛性を主張しているが，Hendricksonによって凸多面体の1-skeletonは大域剛にはならないことが知られていた．この成果を背景にWhiteleyは単体的多面体に辺を挿入したモデルを考え，大域剛性が得られるための必要十分条件を予想した．本研究では，このWhiteley予想の肯定的解決に成功した．また同様の証明方法で，射影平面やトーラスの三角形分割が大域剛になるための必要十分条件を導出した．
(2) 有限グラフに関する最も基本的な定理としてJackson-Jordanによる2次元大域剛性の組合せ的特徴づけが知られている．近年，結晶構造などの同定問題を念頭に無限グラフの剛性に関する研究が盛んに行われており，Jackson-Jordanによる2次元大域剛性の組合せ的特徴づけ定理を無限周期グラフへと拡張することが重要な未解決問題として広く認識されていた．本研究では格子固定の条件の下，Jackon-Jordan の定理が無限周期グラフへと拡張可能であることを証明することに成功した．また系としてJackson-Jordan定理のトーラス空間への拡張が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
大域剛性に関するWhiteley予想の解決など，具体的な理論成果が得られており，当初の目標通り研究が進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の計画通りこれまでの２年間で得られた理論的成果を基礎に，グラフ実現アリゴリズムの設計と解析を行う．特にKrislock-Wolkowiczらのグラフ実現アリゴリズムに対する面的縮小アルゴリズムに対し剛性理論に基づく改良を行い，さらに一般の低階数半正定値計画問題への拡張を試みる．
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| Causes of Carryover |
理論的研究が計画以上に進展し，論文執筆に集中するために，当初予定していた海外共同研究の研究打合せを延期することにしたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初の計画通り，海外共同研究の研究打合せのための旅費として利用する．
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