2015 Fiscal Year Research-status Report
線形方程式系に対する新型反復ソルバーの数理的解析と新展開
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15K17498
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
相原 研輔 東京理科大学, 理学部, 助教 (70735498)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 大規模連立一次方程式 / クリロフ部分空間法 / 帰納的次元縮小法 / 丸め誤差解析 / 最小二乗問題 / 正則化法 / 特異値分解 / ニュートン法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27年度は，大規模な連立一次方程式を数値的に解くための反復ソルバーに対して，丸め誤差の解析と収束性を改善するための方法について，研究を行った．短い漸化式によって近似解を更新するクリロフ部分空間法において，行列とベクトルの積から発生する丸め誤差が近似解精度や収束速度に与える影響を示し，丸め誤差の影響を受けにくい新たな更新過程を提案した．基幹解法として知られる共役残差法に対する数値実験を通して，提案手法の有効性を確認している．これらは，本研究の主たる目標の一つである帰納的次元縮小法の解析と改良の土台として，大いに役立つと考えられる．研究成果は2016年1月に国立情報学研究所で開催された国際会議「Workshop on Numerical Algebra, Algorithms, and Analysis」などで口頭発表を行い，研究成果をまとめた論文を学術雑誌に投稿する予定である．
また，反復ソルバーの研究と並行して，悪条件な最小二乗問題に対する高速かつ高精度な数値解法の開発にも取り組んだ．平成27年度は，二重対角行列を利用した新しい正則化法を構築することができた．近似解精度と計算時間の両面において，既存の方法に比べて同等かそれ以上に有効であることを数値実験により確認している．研究成果をまとめた論文を学術雑誌に投稿する予定である．
さらに，連立一次方程式や悪条件問題に対する研究を行う過程で，行列の特異値分解に関連する多様体上の最適化手法についても新しい知見が得られた．具体的には，ニュートン法の反復過程において，部分問題にクリロフ部分空間法を適用することで，効率的な実装法を構築することができた．研究成果をまとめた論文は学術雑誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
いくつかの反復ソルバーに対して，行列ベクトル積に起因する丸め誤差が収束性に与える影響をおおむね把握することができ，数値的な収束性の改善案を示すことができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度の研究を発展させて，帰納的次元縮小法の解析と改良，および新旧の解法の長所を取り入れた新しいソルバー開発を目指して研究を進める．また，関連する悪条件問題や特異値問題に対する数値解法についても，反復ソルバーを応用して更なる高速化を図るなど，並行して改良に取り組む予定である．
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| Causes of Carryover |
平成27年度は，当初の予定よりも物品費に掛かる費用が少なかったためと考えられる．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成27年度に得られた研究成果を国内外の学会等で発表するのに伴う費用，および執筆中の論文の投稿料・別刷り代に使用する予定である．
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