2016 Fiscal Year Research-status Report
局所ラングランズ対応とLubin-Tate perfectoid空間の幾何学
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15K17506
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
津嶋 貴弘 千葉大学, 大学院理学研究科, 特任助教 (70583912)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非可換ルビンテイト理論 / 局所ラングランズ対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
類体論は整数論において重要な役割を果たしてきた。類体論には局所版と大域版がある。類体論の非可換化・一般化の試みの一つにラングランズ対応というものがある。これにも同様に局所版と大域版があり、現在も盛んに研究されている。また整数論・数論幾何学における主要テーマの一つでもある。ラングランズ対応は、表現の同値類の間の対応として定式化されている。その一方は代数群の表現でありもう一方はガロワ表現である。この代数群が一般線型群の場合が最も基本的である。この場合の局所ラングランズ対応について研究を行った。局所類体論ははじめ大域類体論の副産物として証明されたものであった。その後、局所類体論は大域類体論から独立な理論として確立された。これはルビンテイト理論と呼ばれている。ルビンテイト理論の非可換化として非可換ルビンテイト理論というものがある。その証明に関しては今の所、大域的な保型表現論に依拠するものしか知られていない。そこで、この理論を局所的理論として確立することが本研究の大きな目的である。この理論ではルビンテイト空間という幾何的な対象を考えてこれのコホモロジーを取ることで表現を構成する。その表現の中に局所ラングランズ対応が実現されるというのがこの理論の主な内容である。本研究では二次元で基礎体が等標数の場合に非可換ルビンテイト理論の局所的証明を与えた。この証明のためにルビンテイト曲線の幾何学的様相を詳しく調べる必要があった。そのためにこれのアフィノイド部分空間の還元を詳しく研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では当初、Scholzeによって導入されたパーフェクトイド空間の理論に基づき定義されたルビンテイトパーフェクトイド空間を主な研究対象としていた。古典的な設定では色々と煩雑になりすぎて取り扱えないというのが主な動機であった。ところが本研究を推進する過程で古典的なルビンテイト空間の幾何学だけでもうまく取り扱えることがわかってきた。その点で予想外の発見があり、当初の予想とは反するものの研究目標の達成に向けての進捗としては満足出来るものであると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続き非可換ルビンテイト理論の局所理論の確立のための研究を行う。そのためにルビンテイト空間の部分アフィノイドの解析を引き続き行う予定である。そのためにはwild caseと呼ばれるこれまでの研究では部分的にしか取り扱っていなかった場合を組織的に理解する必要があると考えている。この場合にはガロワ表現の構造が難しいものになる。それだけ興味深いものでもある。wildでないtameの場合にはガロワ表現は非常に簡明な形をしていた。具体的には基礎体の拡大体のガロワ群の指標の誘導という形をしている。一方で、wild caseではこの形にならない複雑なガロワ表現が存在する。このようなガロワ表現がどのようにルビンテイト空間の中のアフィノイドと関係しているかは未解決問題である。これを明らかにしていくことが今後の研究課題である。
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