2015 Fiscal Year Research-status Report
超特異ドリンフェルト・モジュラー多様体の体系的な構成
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15K17508
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (80409614)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ドリンフェルト・モジュラー曲線 / 超特異点 / 超特異多項式 / 基本対称式 / 関数等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，一次多項式をレベルにもつドリンフェルト・モジュラー曲線上の「超特異点」を勘定する「超特異多項式」について，従来とは異なる構成方法を与えた．以下に記述する二つのアイデアがとりわけ新しい発見である．一つ目は，超特異多項式を構成する際，はじめに有限体上の一変数多項式環上の非還元超特異多項式を構成しておき，それを素イデアルで還元して超特異多項式を得るというアイデアである．このアイデアのメリットは，たった一つの非還元超特異多項式から任意の超特異多項式が得られるということである．二つ目のアイデアは，非還元超特異多項式を構成する際，素イデアルの係数をある「基本対称式」で置き換えるというアイデアである．このアイデアのメリットは，素イデアルの係数に依存しない表示が得られ，非還元超特異多項式に関する「関数等式」が得られるということである．
証明した結果の一つは次である：低次数の素イデアルについて，素イデアルに依存しない非還元超特異多項式を具体的に構成し，それらに関する関数等式を与えた．さらに，一般次数の素イデアルについて，非還元超特異多項式の形を明示的に予想した．
構成された非還元超特異多項式は，素イデアルで還元すれば従来の超特異多項式と一致する．さらに，上記の予想は，El-Guindy や Bassa-Beelen らの由緒ある定理から予想されたものなので，正しいことが期待される．
以上の研究結果は論文作成中である．研究発表は３回行った．９月の「Workshop on Galois point and related topics」と１０月の「神楽坂代数セミナー」と１２月の「今野・竹居研究室セミナー」である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
発見した結果について論文作成中である．また，研究発表も行っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
課題は二つある．一つ目は「研究実績の概要」に記述した予想を証明することである．二つ目は，曲線のレベルを一般次数の多項式に拡張し，さらに，多様体の次元も高次元に拡張することである．
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