2016 Fiscal Year Research-status Report
超特異ドリンフェルト・モジュラー多様体の体系的な構成
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15K17508
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (80409614)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ドリンフェルト・モジュラー曲線 / 志村曲線 / 超特異多項式 / 超特異点 / 超幾何関数 / 数論的三角群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は二つの定理を証明した．一つ目の定理の「具体的内容」は以下である：一変数多項式環上の非還元超特異多項式を明示的に与えた（この多項式を素イデアルで還元すると超特異多項式が得られる）．証明のアイデアは以下である：まずはじめに組合せ論的方法を用いて多変数恒等式を証明し，この恒等式を用いて定理を証明する．定理の「意義」や「重要性」は以下である：ドリンフェルト・モジュラー曲線上の超特異点が明示的に勘定できるようになった．さらに，超特異多項式を明示的に与えたことによって，以下の三つの応用が得られた．（１）ドリンフェルト・モジュラー曲線の塔に関する定理を一般化した（いままでの方法では一般化できなかった）．（２）Thakur の超幾何関数とは異なる超幾何関数の可能性を示唆した（われわれの超幾何関数は超特異多項式と関係するので，楕円曲線の場合の類似になっている）．この研究の続きは来年度実施する．（３）いくつかの先行研究の背景が明らかになった．たとえば，Bassa-Beelen や El-Guindy の多項式とわれわれの多項式とのあいだに関係がついたので，かれらの多項式も超特異多項式であることがわかった（われわれの超特異多項式を経由しなければわからなかった）．
二つ目の定理の「具体的内容」は以下である：竹内喜佐雄さんの数論的三角群のリストを用いて志村曲線の塔を明示的に与えた．定理の「意義」や「重要性」は以下である：われわれの定理と Elkies の先行研究を合わせると，リストにある数論的三角群を用いて構成できるすべての志村曲線の塔が構成されたことがわかる．
研究発表は４回おこなった．６月に「Workshop on Galois point and related topics」と７月に「米沢数学セミナー」と９月に「日本応用数理学会」と１１月に「早稲田大学整数論セミナー」である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
発見した結果について二編の論文を作成し，arXiv に アップロードした．また，現在投稿先を検討中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は，階数２の超特異ドリンフェルト加群，すなわちドリンフェルト・モジュラー曲線上の超特異点を勘定したので，今後の研究では，高い階数の超特異ドリンフェルト加群を勘定したい．また，Thakur の超幾何関数とは異なる超幾何関数を定義し，楕円曲線の場合の結果との類似を研究したい．
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