2017 Fiscal Year Annual Research Report
Systematic constructions of supersingular Drinfeld modules
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15K17508
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (80409614)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ドリンフェルト加群 / 超特異ドリンフェルト加群 / 超特異点 / 有理点 / ドリンフェルト・モジュラー多様体 / ドイリング多項式 / 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「超特異曲線」はいろいろ研究されているが，その関数体類似とされる「超特異ドリンフェルト加群」についてはそれほど研究されていない．本研究ではいくつか研究成果を得た．A は変数 T の有限体係数の多項式環，P は次数 d の素イデアルとする．L は A/P の拡大体，f は L 上の階数 r のドリンフェルト加群とする．P の像 f(P) が「超特異的」であるとは，主係数以外の項がどれも 0 のときをいう．
研究成果は以下である．（１）超特異ドリンフェルト加群は，定義によれば，rd 個の多項式の共通零点を計算することによって与えられるが，本研究では，たった r-１ 個の多項式の共通零点を計算すれば十分であることを示した．つまり，r-1 個の多項式の共通零点が自動的に残りの多項式の共通零点になることを示した．これは Gekeler の結果（r=2）の一般化である．（２）ドリンフェルト加群の r+1 個の d の倍数番目の係数を明示的に書き下した．具体的には，rd 次の多項式 f(P) の係数は，f は準同型写像なので，原理的には r 次の多項式 f(T) の係数によって定まるはずであるが，その計算はかなり煩雑になるのでいままでは未解決だった．本研究では，f(T) の係数を用いて f(P) の係数を明示的に書き下した．さらに，d 番目の係数においては，ドリンフェルト対数関数を用いてもっと明示的に与えた．
研究成果の意義と重要性は以下である．（１）ドリンフェルト・モジュラー多様体上の超特異点が決定でき，さらに有理点の個数を下から評価することができた．（２）超特異楕円曲線はドイリング多項式の零点によって与えられ，ドイリング多項式は超幾何関数であることが知られている．超幾何関数の関数体類似は未解決であるが，d 番目の係数が明示的にわかったので，超幾何関数の関数体類似のおおよその形が見えた．
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