2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17510
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
安田 健彦 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30507166)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 特異点 / 整数論 / マッカイ対応 / ガロア拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
年度の前半はマッカイ対応の数論版を研究した。代数体上のマッカイ対応を考察すると自然とファノ多様体上の有理点の分布に関するマニンの予想と代数体のガロア拡大の分布に関するマレの予想の関連を導くことが分かった。前年度にも同様の研究を行っていたが、手法の改良によりより広範な状況を扱えるようになった。本研究では、非特異多様体への有限群作用から生じる特異点が重要な働きをする。したがって、特異点と整数論の関係を明らかにするという研究課題の目的に合致する結果となった。この研究結果ではヒューリスティックスにより、片方の予想から、もう片方の予想の弱い形のものが導かれる。つまり、定理の証明よりも、新しい関係性を明らかにしたことが主な成果である。今後の研究で、この関係を掘り下げ、いろいろな定理を証明する方向に向かいたい。
年度の後半は野性マッカイ対応に関連した研究を行った。研究代表者が以前に提出した野性マッカイ対応予想では、局所体のガロア拡大をパラメタ付けるモジュライ空間を必要としたが、このモジュライ空間が特別な場合を除いて構成されていなかった。Fabio Tonini氏と共同で、正標数の局所体（つまりベキ級数体）の場合に、このモジュライ空間の構成問題に取り組んだ。その結果、空間の構成に向けた大まかな道筋をつけられたと考えている。今後の研究で、この方針の細部を検証し、構成を完成させたい。これにより、野性マッカイ対応予想への厳密な定式化が与えられ、予想の証明に向かうことが可能になると期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
マイン予想とマレ予想の関係の理解が深まり論文（プレプリント）を一つ発表することが出来た。局所体のガロア拡大のモジュライ空間についても研究が進展した。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、野性マッカイ対応予想の厳密な定式化に向けて、正標数の局所体のガロア拡大をパラメタ付けるモジュライ空間の構成を完成させることを目指す。また、非線形作用に対する野性マッカイ対応予想は現在のところ外在的な定式化になっているが、これを内在的なものにする研究も行い、これにより野性マッカイ対応の理解を深めたい。
代数体上のマッカイ対応についても研究をさらに進展させる計画である。今年度の研究で、マニン予想とマレ予想の関係が見えてきたが、これをさらに掘り下げたい。具体的な状況に注目することで、関係の精密化を目指したい。
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| Causes of Carryover |
今年度は2月末まで、海外研究でドイツ、フランスに滞在することになった。ドイツで子供の幼稚園が見つからなかったため、出張を制限する必要があった。元々、研究費の大部分を旅費に使う予定にしていたが、前述の理由により旅費が必要なくなった。それでも、セミナー発表や研究集会参加のために、数回ヨーロッパ内で出張を行ったが、全て先方の研究機関や、主催者側がから負担してもらえることになり、当該科研費から支出する必要が無くなった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度、出張を制限したために、情報収集や研究成果の発表の機会が減った。その分、自分で出来る研究に注力したが、次年度は今年度出来なかった分、研究集会へ参加したり、外部研究者を招聘するなどして、情報交換や研究成果の発表を例年以上に行う予定である。そのために、例年以上に旅費が必要となり、次年度使用額はそれに充てたい。
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