2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K17514
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| Research Institution | Fukuoka University of Education |
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Principal Investigator |
岡崎 亮太 福岡教育大学, 教育学部, 准教授 (20624109)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | アフィン有向マトロイド / 有界複体 / 有限次数付き自由分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，アフィン有向マトロイドの有界複体，多項式環上の次数付き有限生成加群（以下，単に有限生成加群と略す）の有限次数付き自由分解（以下，単に自由分解と略す）の構成に関する下記の成果が得られた．
（１）本研究課題の究極の目標でもあるアフィン有向マトロイド M の有限複体 X に関する懸案の課題「X が閉球体と同相である為の必要十分条件は，X がコーエン＝マコーレーであるか？」について，X が 2 次元以下の場合に正しいことを示した．更に，M がアフィン超平面から定まるものであるとき，X が 3 次元ならば上述の課題の主張は正しく，4 次元の場合は，X がコーヘン＝マコーレーならば，X は位相多様体であることを確認した．
（２）任意の体 K 上の多項式環 S について，S 上の任意の有限生成加群に対し，その自由分解の構成を行うことに成功した．従来，一般の有限生成加群 M の自由分解の構成は，グレブナー基底を用いて逐次的に構成する方法しか知られていなかったが，本研究による構成は，自由分解に現れる有限生成自由加群の基底やそれらの間の微分写像を，M の K ベクトル空間としての基底を用いて具体的に与えるもので，逐次的な計算の必要はない．本構成法により，有限生成加群 M の代数的な構造がその自由分解にどう反映するか「直接的」に調べることが可能となるので，今後の自由分解の構造解析に貢献することが期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究業績の概要（１）の業績は，低次元の場合のみではあるが，アフィン有向マトロイドの有界複体に関する予想が正しいことを確認するものであり，一定の評価ができる．また，（２）の業績は当初の計画では全く予期していなかったものであるが，今後の応用が期待できる成果である．
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| Strategy for Future Research Activity |
アフィン有向マトロイドの有界複体については引き続き，予想の完全解決を目指し，研究を推進する．同時に，本年度で得られた自由分解の構成の応用，例えば，ベッチ数の下限に関する Buchsbaum-Eisenbud-Horrochs 予想等への応用について考察する．
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| Causes of Carryover |
生じた次年度使用は，予算に合わせて物品購入や出張予定を変更したこと，及び，消費税に起因するものである．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
交付額に合わせ，若干の修正を行いながら，当初の計画通りに助成金を使用する．次年度使用額は 1 千円未満であることから，上述の修正の際に税などの影響で生じる端数の処理等に利用する．
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