2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K17514
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| Research Institution | Fukuoka University of Education |
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Principal Investigator |
岡崎 亮太 福岡教育大学, 教育学部, 准教授 (20624109)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | アフィン有向マトロイド / 次数付き自由分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，主に以下の研究を行った．
(1) アフィン有向マトロイド M の有界複体 X に関する予想「X が閉球体と同相である為の必要十分条件は X がコーヘン＝マコーレーであることか？」に関し，X が 3 次元，4 次元の場合に予想が成立するか考察を行った．X が閉球と同相であることを示すには，X がシェラブル性等の「帰納的な構造」を持つことを示すのが有効な手段であることから，上記の場合について，この様な構造を持たないか調べた．また，M に付随するスタンレー・ライスナー環 R の構造を理解するために，R に付随する単体的複体 Δ やそのアレクサンダー双対の幾何的・組合せ論的構造について考察を行った．
Δ に関しては，これまであまり目を向けていなかったが，今回の研究で，Δに関しても良い構造が入りそうな感触を得ることができた．M との直接的な繋がりについては，まだ不明であるが，R を通して両者の間には何らかの関係があることは確かであるので，今後の研究課題としたい．
(2) Buchsbaum-Eisenbud-Horrochs 予想への応用などを念頭に，前年度の研究で得られた次数付き自由分解を用いて様々な有限生成次数付き加群 M の次数付き自由分解を構成し，Tor 加群 T や代数的ベッチ数の計算などを行い，M の代数的構造と T の代数的構造のより直接的な関係性が見いだせないか考察を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
アフィン有向マトロイドに関する研究，前年度に得られた次数付き自由分解の研究と共に，具体例を詳細に調べ研究を行ったが，既存の結果を上回る新しい結果を得るには至っていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」において，(2) として挙げた研究については，次数付き自由分解に付随する次数付き微分代数などの構造について，更に深める必要性を感じており，こちらは時間を要することが想定される．来年度は本研究課題の最終年度であることから，これまで実績を重ねてきたアフィン有向マトロイドに関する研究に注力する．
アフィン有向マトロイドに関する研究では，予想の部分的な解決を目指し，有界複体 X が閉球体と同相になる様な X の良いクラスを見つけることに注力したい．これまでの研究から，X がコーエン＝マコーレーであることより，X に付随するスタンレー＝ライスナー環 R がコーエン＝マコーレーであることの方が強い条件であることが分かっているので，例えば，R がコーエン＝マコーレーである場合に X が閉球体と同相にならないかどうか検討する．必要ならば，R に関する条件を更に強めて考察する．
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