2017 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
15K17524
|
|---|
| Research Institution | Osaka University of Health and Sport Sciences |
|---|
Principal Investigator |
佐々木 義卓 大阪体育大学, 体育学部, 准教授 (20548771)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | Mahler測度 / 多重ポリログ / 多重L関数 / 多重Bernoulli数 / ロンサム行列 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Mahler測度とL関数の特殊値の関係を解明するために、L関数の特殊値からMahler測度にアプローチするRogers-Zudilinの手法を用いて研究を進めた。これはテータ級数の関係式や楕円ノームなどを用いて、保型形式に付随するL関数の特殊値の積分表示を簡易化し、Mahler測度との関係を構築する手法である。今年度は、ある保型L関数の特殊値のテータ級数を用いた明示式を得た。現在、テータ級数の代数的関係式を用いた明示式の簡易化に取り組んでいる。他方、多重Mahler測度と多重L関数の特殊値の関係解明に向けた多重ポリログ関数の関数関係式に関する研究や多重Bernoulli数の漸化式およびその組合せ論的意味付けに関する研究も実施した。Mahler測度の多重化である多重Mahler測度は多重ポリログ関数と深く関係する対象であり、多重ポリログ関数の明示的な関係式は多重Mahler測度と多重L関数の特殊値の関係式を得る上で重要な研究ツールとなる。昨年度に続き、楠氏・中村氏と多重調和数を補間する関数を用いて、多重ポリログ関数の明示的な解析接続の研究に取り組んだ。また、昨年度、大野氏との共同研究において多重Bernoulli数の新たな漸化式を見出し、これが多重Bernoulli数を特別な場合として含む一般多重Bernoulli多項式まで拡張されることを示した。今年度はこの漸化式の組合せ論的意味を追究することで、ロンサム行列の個数の数え上げに関する明示式を得た。この研究結果に関する講演を日本数学会で行った。最近では、Carlitzが導入した重み付きStirling数の性質を一般多重Bernoulli多項式の解析に応用できることが分かってきたため、重み付きStirling数の性質を精査し、多重Bernoulli数の種々の性質の多項式補間について目下研究中である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は昨年度得た2重ポリログ関数の解析接続の明示式を用いて多重Mahler測度と多重L値との関係解明を目指す予定であったが、L関数の特殊値の解析および多重ポリログ関数の解析接続の研究で大きな進展があった。また、重み付きStirling数を導入することで、多重Bernoulli数の拡張として高い汎用性を有する一般多重Bernoulli多項式の観点から多重Bernoulli数の性質をより詳しく解析できるようになるなど、他方面の研究の進展が著しかったため、2重ポリログ関数の解析接続を応用した多重Mahler測度の研究を延期した。その影響で当初の予定より遅れが生じているが、今年度の研究成果は多重Mahler測度および多重Bernoulli数の性質をより一般的な立場から示したものであることから、研究進度の遅れを取り戻すだけでなく、当初の計画よりも改良された研究成果が得られると考えている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
本研究はMahler測度とL関数の特殊値の関係解明が課題の一つであり、とりわけL関数の特殊値からMahler測度に迫るRogers-Zudilinの方法を応用して研究している。今年度は、ある保型L関数の特殊値のテータ級数を用いた明示式を得た。今後はテータ級数の代数的関係式を調査・解析し、それを応用してL関数の特殊値の簡易化を図り、Mahler測度との関係を追究していく。また、多重Mahler測度と多重L関数の特殊値の関係解明も本研究の課題である。これまでに多重ポリログ関数の解析接続の明示式を得ており、次年度はこの明示式を用いて種々の多項式族に関する多重Mahler測度を解析し、多重Mahler測度と多重L関数の特殊値の新たな関係式を追究していく。他方、多重ポリログ関数と関係する多重Bernoulli数の諸性質の多項式補間に関する研究も実施していく。多重Bernoulli数の拡張である一般多重Bernoulli多項式の新たな漸化式を得たが、一般多重Bernoulli多項式について知られていることはまだ少ない。今年度、重み付きStirling数を導入することで一般多重Bernoulli多項式の解析が容易となることが分かった。次年度は重み付きStirling数の基本的性質を深く追究することによって、一般多重Bernoulli数の諸性質の追究および多重Bernoulli数の種々の性質の多項式補間を図っていく。
|
Research Products
(6 results)
