2016 Fiscal Year Research-status Report
退化によるコーエン・マコーレー加群の研究と表現型理論への応用
| Project/Area Number |
15K17527
|
|---|
| Research Institution | Kure National College of Technology |
|---|
Principal Investigator |
平松 直哉 呉工業高等専門学校, 自然科学系分野, 講師 (20612039)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | グロタンディック群 / コーエン・マコーレー加群 / 退化 / 可算無限表現型 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
グロタンディック群を定義する関係に関するAuslanderの予想について考察した。基礎環が孤立特異点をもつとき、コーエン・マコーレー加群のなす圏は概分裂完全列をもつ。環が有限表現型のとき、環は孤立特異点であり、従って概分裂完全列をもつ。環が有限表現型であるとき、グロタンディック群を定義する関係は概分裂完全列によって生成されることは古くから知られていた。Auslanderの予想は、この逆が成り立つかどうかの命題であり，基礎環がゴレンシュタイン環のとき，この予想を肯定的に解決した(Proceedings of the American Mathematical Societyに掲載)。またグロタンディック群を定義する関係が概分裂完全列によって生成されるとき、基礎環は孤立特異点をもつことがわかった。
基礎環Rがコーエン・マコーレー完備局所環であるとき、正則局所環TがRの部分環として存在して(Cohenの定理)、R上のコーエン・マコーレー加群は、T加群として自由加群になる。このとき、コーエン・マコーレー加群のR加群としての作用を考えることにより、各コーエン・マコーレー加群に対し、Tに成分をもつ行列を得る。これをコーエン・マコーレー加群の行列表現とよぶ。退化の関係を加群の行列表現で見直すこと試みた。これにより、1次元A可算無限表現型の直既約なコーエン・マコーレー加群の退化の様子を記述することができた（これについては現在、論文を執筆中である）。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コーエン・マコーレー加群の行列表示での考察により、1次元A可算無限表現型超曲面環上の退化の様子を記述することができた。これは実際には与えられた直既約加群が「退化しないこと」を示し、結論を得ている。これまで加群が退化しないことを明確に示した例はほとんどなく、従って、退化の関係を表す不変量を考察する上で重要な例になると考えている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
加群の行列表示での考察をもとに、退化の関係を表す不変量を模索していく。また先の状況ではコーエン・マコーレー加群のModule varietyを考えることができるので、その幾何学的な情報を考察することも検討していく。
|
| Causes of Carryover |
勤務校の業務の関係からいくつかの出張を取りやめたためである。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本課題に関係する他の研究会への出席のための旅費として予算を計上する。
|
