2015 Fiscal Year Research-status Report
相対双曲群の範疇を超えた負曲率性を持つ群の粗幾何学構造の研究
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15K17528
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
深谷 友宏 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 講師 (40583456)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Coarse Baum-Connes予想 / 相対双曲群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
粗幾何学（coarse geometry）では，非コンパクトな完備リーマン多様体や，語距離を入れた有限生成な無限群などの非有界な距離空間から，局所的な情報を捨て去り，「遠くから眺めたときに見えてくる構造」に着目して研究する．非コンパクト完備リーマン多様体上のDirac型作用素は，一般にFredholm作用素には成らない為，整数に値を取るFredholm指数を定義できない．そこでRoeはDirac型作用素の「指数」をRoe環と呼ばれるC*環のK群として構成した．さらにRoeはHigsonとともに，Dirac型作用素を粗Kホモロジーのサイクルと見なし，その指数を対応させる事により，Roe代数のK群への準同型写像を構成した．これらはリーマン多様体とは限らない距離空間に対して定義され，また距離空間の粗構造にしか依らない．この準同型写像を，粗組み立て写像と呼ぶ．さて，粗Baum-Connes予想とは次のような主張である．「良い」距離空間Yに対して，粗組み立て写像は同型である．
これまでに愛媛大学の尾國新一氏との共同研究で，相対双曲群に対して適切な仮定の下で，粗Baum-Connes予想が成立する事を示した．最近の研究では，距離空間の直積に対して，その粗構造を反映したコンパクト化を構成した．それを用いて，適切な条件の下で相対双曲群とCAT(0)群とPolycyclic群の直積に対して，粗Baum-Connes予想が成立する事を示した
上述の研究の過程で，相対双曲群の良い境界を構成し，その被約Kホロモジーが，群の粗Kホモロジー及びRoe代数のK群と同型になることを示したが，今年度の研究では，その境界の位相次元を群のコホモロジー次元で決定する公式を証明した．その為に，相対双曲群の分類空間の普遍被覆のコンパクト化が強い意味で可縮であるという命題を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究で構成した相対双曲群の境界が，ホモロジーの段階で良い性質を持つだけでなく，ホモトピーの段階でも良い性質を持つということが示せた．
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| Strategy for Future Research Activity |
相対双曲群の場合の境界の構成を，非シリンダー的双曲群の場合に拡張する．
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| Causes of Carryover |
ほぼ予定通り予算を執行したが，当初の予定より若干旅費が安く済んだために，今年度予定額の2パーセント未満の次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究成果を発信するための出張の旅費に使用する．
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