2016 Fiscal Year Research-status Report
相対双曲群の範疇を超えた負曲率性を持つ群の粗幾何学構造の研究
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15K17528
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
深谷 友宏 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (40583456)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Coarse Geometry / non-positively curved |
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| Outline of Annual Research Achievements |
粗幾何学では，非コンパクトな完備リーマン多様体や，語距離を入れた有限生成な無限群などの非有界な距離空間から，局所的な情報を捨て去り，「遠くから眺めたときに見えてくる構造」，これを粗構造と呼ぶ，に着目して研究する．非コンパクト完備リーマン多様体上のDirac型作用素は，一般にFredholm作用素には成らない為，整数に値を取る指数を定義できない．そこでRoeはDirac型作用素の「指数」をRoe環と呼ばれるC*環のK群として構成した．さらにRoeはHigsonとともに，Dirac型作用素を粗K-ホモロジーのサイクルと見なし，その指数を対応させる事により，Roe代数のK群への準同型写像を構成した．これらはリーマン多様体とは限らない距離空間に対して定義され，また距離空間の粗構造にしか依らない．この準同型写像を，粗組み立て写像と呼ぶ．さて，粗Baum-Connes予想とは次のような主張である．
「良い」距離空間Yに対して，組み立て写像は同型である．
粗組み立て写像は，正スカラー曲率を持つ計量の非存在や，高次符号数のホモトピー不変性への応用が有る．なお，この粗Baum-Connes予想は，非可換幾何学の中心的な話題であるBaum-Connes予想の非同変版と見なせる．
今年度の研究では愛媛大学の尾國新一氏との共同研究により，粗幾何学的な観点からの非正曲率性を持つ空間に対する粗Baum-Connes予想を証明した．そのために，coarsely conxex spaceという距離空間のクラスを導入し，その性質を調べた．これはSystolic complexと呼ばれる組み合わせ論的に特徴付けられた対象を含む．このSystolic complexに対して粗Baum-Connes予想が成り立つかどうか，これまで知られていなかったが，今回の我々の結果で，成り立つことがわかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまで粗Baum-Connes予想が成り立つかどうか知られていなかったSystolic complexに対して，同予想が成立することを示すことができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度に導入した，coarsely convex spacesの幾何学的な性質について，さらに詳しく調べる．特に群作用が境界へ拡張する場合に，双曲群の場合と同様の考察を行う．
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| Causes of Carryover |
当初予定していた計算機の購入を次年度に先送りしたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
先送りした計算機の購入を行う．
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