2017 Fiscal Year Research-status Report
相対双曲群の範疇を超えた負曲率性を持つ群の粗幾何学構造の研究
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15K17528
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
深谷 友宏 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (40583456)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 粗幾何学 / 粗Cartan-Hadaramの定理 / 粗凸空間 / coarsely convex space / coarse geometry / 粗Baum-Connes予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「粗凸空間（coarsely convex space）」という新しい非正曲率空間のクラスを導入し，その空間の幾何学を調べ，粗幾何学版Cartan-Hadamardの定理が成り立つことを証明した．これは，粗凸空間が，その境界上の開錘と，指数写像を通して粗ホモトピー同値になるという主張である．系として，粗凸空間に対して，粗Baum-Connes予想と呼ばれる非可換幾何学の中心的な予想が成立することが従う．粗凸空間には，Gromov双曲空間とBusemann非正曲率空間が含まれる．この2つの空間のクラスに対しては，既に粗Baum-Connes予想が成立することが知られていたが，その証明方法は，それぞれ異なっていた．今回の研究により，両者を含むより統一的な視点からの証明が与えられた．それだけではなく，Artin groups of almost large typeや，graphical C(6)-small cancellation groupなどという，これまで双曲群の理論では届かなかったクラスの群に対しても，今回の研究により同予想が成立することが従う．
さらに，粗凸空間がAlonso-Bridsonの意味でsemihyperbolicであることを示した．これにより粗凸空間に幾何学的に作用する群が高々二次の等周不等式を満たすことが従う．特に，3次元ハイゼンベルグ群が粗凸空間に幾何学的に作用しないことが分かった．また，粗凸空間の理想境界が，Engel-Wulffが構成したコロナと一致することも示した．これにより，群Gが粗凸空間に幾何学的に作用しており，Gの分類空間を有限次元の単体複体で実現できるとき，Gのコホモロジー次元とGの理想境界の位相次元の関係を決定する等式が得られた．
以上の研究成果は論文にまとめられ，arXivに投稿されている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新しい非正曲率空間を導入し，その空間に対して粗Baum-Connes予想を示すことができた．このクラスは，Artin groups of almost large typeと呼ばれる群のクラスを含む．この群のクラスは，「非正曲率を持つ群」と見なされはいたが，双曲群では無いために，実際には幾何学的な性質は殆ど何も知られていなかった．特に粗Baum-Connes予想が成立するかは，これまで知られていなかったが，今回の研究により，この群のクラスに対しても同予想が成立することが分かった．こうした理由により，研究は概ね順調に進んでいると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
新しく導入した「粗凸空間」の幾何学的な性質をより詳しく調べる．具体的には，等長変換の分類を行う．方法としては，双曲空間の場合と同様に，理想境界へ拡張された作用を調べる．
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| Causes of Carryover |
3千円未満の金額が残ったが，最終年度では無かったので，次年度に繰り越すことにした．
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Research Products
(3 results)
