2016 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
15K17532
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
中村 伊南沙 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (60568161)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 曲面結び目 / ２次元ブレイド / チャート |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
４次元空間内に埋め込まれた閉曲面である「曲面結び目」、および曲面結び目の被覆の形をしている曲面である「曲面結び目上の２次元ブレイド」について研究している。今年度は論文"On addition of 1-handles with chart loops to 2-dimensional braids"が出版された。
この論文では、1-ハンドルをいくつか加えることによって得られる曲面結び目上の２次元ブレイドで、ある繰り返しのパターンから成るものについて、「1-ハンドルムーブ」という同値変形を導入した。曲面結び目上の２次元ブレイドは、曲面結び目を３次元空間に射影して得られる図式の上に描かれるある種のグラフ、「曲面図式上のチャート」で表示される。ここで考えた「ある繰り返しのパターンから成る」２次元ブレイドは、簡略化されたチャートで表すことができる。そのようなチャートが描かれている曲面図式が、「１-ハンドルムーブ」によって、どのパターンに分類されるかを調べたのが第１の結果である。さらに、第２の結果として、任意の曲面結び目上の任意の2次元ブレイドについて考え、これにチャートループ付き1-ハンドルを加えるという操作は、２次元ブレイドを簡略化する操作であることを示した。すなわち、ある種類のチャートループ付き1-ハンドルをいくつか加えると、曲面図式上のチャートは「フリー・エッジという特殊な簡単なチャートいくつかと、チャートループ付き1-ハンドルいくつか」という形に必ず変形できることを示した。
また、埋め込まれた曲面ではなく、境界のある本来の「２次元ブレイド」の概念との混同を避けるため、「曲面結び目上の２次元ブレイド」を「被覆曲面結び目」に変更することにした。
また、学習院大学トポロジーセミナーを開催し、この科研費をつかって遠方の講演者を招待することができた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
カンドルコサイクル不変量や結び目群についての結果を出すに至らなかったため。
|
| Strategy for Future Research Activity |
これまでの結果を踏まえた上で、被覆曲面結び目（曲面結び目上の２次元ブレイド）について、チャートの変形についての研究を行う。チャートループ付き1-ハンドルを加えるという操作によって、被覆曲面結び目の「単純化数」という不変量が定義されるが、それの評価を考察する。また、カンドルコサイクル不変量、結び目群についても先行研究や最新の研究を学びつつ研究を進める。
|
