2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17533
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
糟谷 久矢 東京工業大学, 大学院理工学研究科(理学系), 助教 (80712611)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ループ群 / ループホッジ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー多様体上で知られている平坦ベクトルバンドルとHiggsバンドルの間の対応(非可換ホッジ分解)が、非ケーラー多様体上でどのように起こるか、あるいは起こらないとすればどのような障害が存在するかを調べる事が本研究の目的である。難点は非可換ホッジ理論を表現するためにはケーラー構造から定まる調和計量と呼ばれる特別なエルミート計量を考えなければ成らない点である。よって主目的のためにはまず、この対応を特別なエルミート計量によらない形で書き下す必要が有る。今年度は、このような目的のためにループ群を用いることが有効である事を見いだした。これまでの研究により非可換ホッジ分解によって、円周の作用に関する非常に大きな対称性が現れる事がわかっていた。この対称性をよく理解するためにはベクトルバンドルを円周のパラメーターのついたものに拡張する事が非常に有効である。よって、行列群に円周パラメーターを付加した群(ループ群）を変換関数に持つ無限次元ベクトルバンドルを考える事にした。すると、非可換ホッジ分解はループホッジ理論（あるいはツイスター構造論)と呼ばれる通常のホッジ理論を拡張した理論と関連するようになった。これによって、非可換ホッジ分解は複素多様体からのループ群のある種の等質空間への特別な性質をもつ正則写像の存在として表現できる事がわかる。よって、非可換ホッジ分解は複素多様体上の正則性によってとらえる事が出来るようになり、特別な計量に関係なく純粋な複素幾何学な研究が進められると期待できるようになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
ループ群を用いるというかなり本質に踏み込んだアイディアを早い段階で獲得できた事は、当初の計画の見込みを上回っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
ホッジ構造に関わる複素幾何学的な不変量のループホッジ理論的な拡張を目指す。特に基本群の混合ホッジ構造に関してループ群を用いた拡張を行い、通常のホッジ構造のVariationから来ない簡約表現に付いての研究方法を与える。
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| Causes of Carryover |
本年度は後半からパリを拠点に研究を行った。パリから当初有るワークショップに参加予定であったが、フランスでの長期滞在許可証の発行手続きと時期がかぶってしまったため、参加を取りやめた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初予定していなかったパリから日本への一時帰国の必要が生じた。その渡航予算として使いたい。
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