2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17535
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
田中 康平 信州大学, 学術研究院社会科学系, 助教 (70708362)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | オイラー標数 / LS-category / オイラー積分 / センサーネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の当該年度における研究成果については，以下の3つのことが挙げられる．
１．離散Morse関数から元の空間のホモトピー型を復元する2-圏の構成と，その証明を進めた．その方法としては2-圏と安定細分による面順序集合，そして元の空間の面順序集合の間の関係を示すことを目指した．このうち前半部分の証明はQuillenによる定理Aの高次元版を用いて証明ができた．
２．圏の特殊な場合である順序集合において，LS-categoryの組合せ論的な不変量を定式化した．これは，その順序複体における通常のLS-categoryとも密接にかかわっており，またその順序集合を有限の空間とみなした時のLS-categoryとも，評価式によって関係が得られた．また，離散Morse関数における臨界複体の個数との関係式を明らかにした．
３．圏を用いたホモトピー論的な手法について，圏のEuler標数の包除原理を示した．このアイデアの元になったのは，空間におけるCech複体の理論であり，特別な部分圏による被覆により，元の圏のホモトピー論的な情報を復元できることがわかった．さらにこの包除原理を応用して，離散的なEuler積分の理論を構築した．この実用的な応用先として，センサーネットワークによる数え上げの問題がある．先行研究として，位相的なEuler積分では主に平面上に散らばるターゲットをセンサーで数え上げ，その総数を重複なく求めるにはどうすればよいかという問題があったが，本研究では有限の頂点とそれらを繋ぐラインによって構成されたネットワークで同様の問題を考え，一定の成果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
圏による空間の再構成の理論については一部の証明を残しているものの，圏を用いた不変量の構成，圏におけるホモトピー論的手法の開発は順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
圏による空間の再構成については研究協力者とも議論を進め，互いに知識を出し合い証明を完結させることを目指す．圏を用いた不変量については，他の位相的不変量を参考にして組み合わせ論的，代数的な構成法を探っていく．そして圏におけるホモトピー論的手法については，今回得られたEuler積分の理論のさらなる実用的応用，他分野への波及を目指したい．
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| Causes of Carryover |
当初計画で見込んだよりも出張（学会参加）が少なかったため．また，招致する予定の研究者の都合が合わず，呼ぶことができなかったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初の予定よりも多くの論文を執筆できそうなため，H28年度請求額と合わせて論文の校正費・投稿費用に充てたい．
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