2016 Fiscal Year Annual Research Report
Research on homotopy theory and reconstruction of spaces using categories
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15K17535
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
田中 康平 信州大学, 学術研究院社会科学系, 助教 (70708362)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 圏 / ホモトピー論 / 離散モース理論 / ＬＳカテゴリー / オイラー積分 / センサーネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，圏を用いた組合せ的ホモトピー論について主に3つの事柄，空間の再構成，不変量の導入，ホモトピー論の発展を柱に研究を進めた。以下で，それぞれについて得られた結果の概要を述べる。
（１）まず圏を用いた空間の再構成の理論では，離散モース関数からそのフローと臨界胞体の情報により圏（フロー圏）を構成し，その分類空間によって元の空間のホモトピー型が回復できることを示した。ここで用いたフロー圏は，フローの順序構造を込めた高次の圏構造を持っており，それらの情報が再構成に必要であることが分かった。
（２）次に組合せ論的不変量の導入については，半順序集合に対する組合せ論的ＬＳカテゴリーを定式化した。半順序集合は各頂点間に矢印（射）が１つしかない特別な圏として考えられる。また，三角形で分割された空間（単体複体）に対しても，同様の組合せ論的ＬＳカテゴリーを導入し，分類空間と面順序集合を考えることにより，互いに対応していることを示した。さらに，この新たな不変量と古典的なＬＳカテゴリーとの対比を行い，評価式を導いた。古典的なＬＳカテゴリーは，（滑らかな）モース関数の臨界点の個数の上界になっていた。この事実が組合せ論的ＬＳカテゴリーと離散モース関数についても成立することを確かめた。
（３）組合せ的ホモトピー論については，センサーネットワーク理論への応用が大きな進展だった。組合せ論的オイラー標数に関する積分理論を構築し，これを用いてネットワークグラフ上に散らばるターゲットの総数を数え上げる方法を確立した。さらに，この理論を実用的なレベルに押し上げるため，数え上げ手法の効率化，最適化，そして信頼性についても，ホモトピー論の視点から考察した。組合せ的ホモトピー論の工学，情報学への実用的な応用として有意義であると考えられる。
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