2016 Fiscal Year Research-status Report
測度距離空間の幾何解析-最適輸送理論と情報幾何の融合と応用-
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15K17536
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
高津 飛鳥 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 測度距離空間 / 最適輸送理論 / 情報幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
申請者は測度距離空間（完備可分な距離空間とその上の確率測度のなす三つ組）上の幾何解析を試みた。測度距離空間上の解析の中でも、申請者は距離関数と測度の関係を表す種々の不等式に興味がある。申請者はこれらの不等式を、最適輸送理論と情報幾何の視点から解明を目指している。
最適輸送理論とは「物質をある場所からその他の場所へ運ぶ最適な方法」を求める理論である。最適輸送理論は変分問題として数学的に定式化され、そして確率測度のなす空間上にWassersein距離関数と呼ばれる距離構造を導く。そしてWassersein距離関数を用いることで、微分構造を許容しない測度距離空間に対してもリッチ曲率の下限・次元の上限を定義できることが知られている。（このリッチ曲率の下限・次元の上限を特徴付ける条件を「曲率次元条件」と呼ぶ。）
そして情報幾何も確率測度のなす空間に幾何構造（計量とその計量に関して直交する接続の組）を定めるが、この幾何構造は最適輸送理論から導かれる構造と大きく異なる。
例えば実数上のガウス測度のなす族（平均パラメーターと分散パラメーターで特徴付けられる指数関数族）を考えると、実数上のガウス測度族は上半平面に同相である。そしてガウス測度族の距離空間としての構造は、Wassersein距離関数に関してユークリッド的だが、情報幾何（Fisher計量）に関しては双曲的であることが知られている。
今年度は、これらの幾何構造を用いた研究に大きな進展を与えることは出来なかったが、様々な場所で講演をし、また著書を書くことで最適輸送理論と情報幾何の関連性の周知に貢献することが出来たように思う。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本研究の目的は、測度距離空間上の距離関数と測度の関係を表す種々の不等式を、最適輸送理論および情報幾何を用いて解析することである。
測度距離空間の最適輸送理論を用いた解析は、申請時に比べ爆発的に進展している。そしてそこでは指数関数族（あるいはボルツマンエントロピー）が重要な役割を果たしているため、情報幾何で重要な役割を果たす指数関数族（あるいはボルツマンエントロピー）の一般化であるφ-指数関数族（あるいはφ-エントロピー）に理論を拡張することには大きなギャップがある。そしてそのギャップを埋めることが出来なかったために、研究に目立った進展を与えることは出来なかった。
しかし一方で、最適輸送理論およびその周辺話題の研究集会において情報幾何と最適輸送理論の関連性を講演する機会に恵まれた。そして講演の都度、それらの関連性に興味を持つ研究者が現れ、種々の議論が進んだ。
以上を鑑みて、本年度、不等式の関係性の解明に進展はなかったが、多くの研究者に情報幾何と最適輸送理論の関連性を伝え、興味を喚起することができた。このことは今後の研究の進展に有益に作用すると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
最適輸送理論および情報幾何を用いて、測度距離空間上の距離関数と測度の関係を表す種々の不等式を解明することを目指す。そこでまず、去年に引き続き発展方程式の漸近挙動を最適輸送理論および情報幾何を融合させることで解析する。また発展方程式のみならず、距離関数と測度の関係を表す不等式の中で非常に強力であるBrunn--Minkowski不等式や等周不等式の最新の結果を考察し、これらをより一般的な状況に拡張することを目指す。
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| Causes of Carryover |
平成29年度にイタリアのフィレンツェにて研究打ち合わせを行うために長期滞在する。そのための滞在費用を捻出するために、平成28年度の使用額を抑える必要があった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年５月にフィレンツェにて研究打ち合わせを行う。また、その他の研究集会にも精力的に参加する予定である。
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