2017 Fiscal Year Research-status Report
測度距離空間の幾何解析-最適輸送理論と情報幾何の融合と応用-
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15K17536
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
高津 飛鳥 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 測度距離空間 / 測度の集中 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
申請者は測度距離空間（完備可分な距離空間とその上の確率測度のなす三つ組）上の幾何解析、特に次元が無限大に発散するときの挙動の解析に興味がある。そこでリーマン多様体の次元が無限に発散するときの挙動を、リーマン多様体とその距離関数および体積要素の組を測度距離空間とみなし解析した。
ここで測度距離空間の収束には様々な収束があり、状況に見合った収束を考えることは非常に重要である。例えば、半径がNの平方根であるN次元球面の上の一様確率測度をk次元ユークリッド空間に射影した測度をμ(N,k)とする。このとき、Nを無限大にすればμ(N,k)とk次元ガウス測度のProkhorov距離は0に近づくことが既知である。しかしμ(N,N)とN次元ガウス測度のProkhorov距離は、Nを無限大にしたときに0にはならないことを東北大学の塩谷隆氏との共著により示した。さらに半径がNの平方根であるN次元球面の一般化であるスケール変換したスティーフェル多様体の一様確率測度と、適切な次元のガウス測度のProkhorov距離は0にならない。しかしProkhorov距離が導く位相よりもより弱い位相を導くある距離に関しては、スケール変換したスティーフェル多様体の一様確率測度がある条件下で無限次元空間のガウス測度のなす測度空間に収束することを示した。
そしてこの弱位相より弱い位相は、集中の不等式と深く関係する位相であることより、距離関数と測度の関係を表す不等式の新たな一面を発見できたと言える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究の目的は、測度距離空間上の距離関数と測度の関係を表す種々の不等式を、最適輸送理論および情報幾何を用いて解析することである。
測度距離空間の最適輸送理論を用いた解析は、申請時に比べ爆発的に進展している。そしてそこでは指数関数族（あるいはボルツマンエントロピー）が重要な役割を果たしているため、情報幾何で重要な役割を果たす指数関数族（あるいはボルツマンエントロピー）の一般化であるφ-指数関数族（あるいはφ-エントロピー）に理論を拡張することには大きなギャップがある。そして現在に至るまでにそのギャップを埋めることが出来なかったために、研究に遅れが生じた。
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| Strategy for Future Research Activity |
最適輸送理論および情報幾何を用いて、測度距離空間上の距離関数と測度の関係を表す種々の不等式を解明することを目指す。しかし上記で述べたように、ボルツマンエントロピーの理論をφ-エントロピーの理論に拡張するにはいくつかのギャップがある。そこでまずはそのギャップを取り除くべく、基礎理論となるリーマン多様体でのエントロピーの凸性に関する性質、例えばある種の発展方程式に関する凸性に関する性質を、より深く考察していく。
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| Causes of Carryover |
研究に遅れが見られたため、今年度も引き続き関係する研究集会に参加し情報収集をする。
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Research Products
(2 results)
