2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K17538
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 二面体群 / 非線形スペクトルギャップ / Wirtinger の不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
重み付きグラフの非線形スペクトルギャップをコクセター群上で考えるための一つのステップとして, 一般の二面体群を扱った. 二面体群について, 重みを動かした時のスペクトルの変化を調べ, Wirtinger の不等式の形の予想を立てた. 非正曲率空間に対する Wirtinger の不等式の証明はまだできていないが, CAT(0)不等式から導かれる二面体群上の不等式の族を得るところまではできている. これらの不等式が独立であることが証明できると, サイクルの場合と同様に Wirtinger の不等式が証明できると考えられるが, それにはまだ計算が必要となる.
また, 4次対称群上の Wirtinger の不等式に対する, これまでに分かっていたアドホックな証明を見直し, より見通しの良い形で理解することができるようになった. すなわち, Wirtinger の不等式を示すために, 我々はまずコクセター群の表現空間内の軌道のうち同一平面上にある4点に対してCAT(0)不等式を適用し, これらを十分な数だけリストアップして連立不等式を得て, そこから導出するというやり方を取っていたのだが, 4次対称群の時は考えるべき表現空間の次元が3であるために軌道の成す多面体を目で見ることができ, 同一平面上にある点は目で見て探すことができ, リストアップするべき平面の集合も適当に見つけることができた. このやり方は一般化が不可能であるため, どのような群の元に対して軌道が同一平面に乗るのかを理解し, その切り口の幾何的性質を理解し直し, 一般化のための知見を得た.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
二面体群のWirtinger の不等式及びスペクトルギャップの値を得るための本質的なステップは予想の形を具体的に書き下して, 必要な不等式のリストアップを行うことであると考えられる. これらの部分はできているため, 残りは時間をかければサイクルと同様の議論により証明が完成すると考えられる.
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| Strategy for Future Research Activity |
二面体群についての研究を引き続き今年度も行う. また対称群の場合のWirtingerの不等式についても同様の研究を行う.
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[Presentation] 有限グラフの歪み2017
Author(s)
近藤 剛史
Organizer
第2回摂南大学数理セミナー
Place of Presentation
摂南大学寝屋川キャンパス(大阪府・寝屋川市)
Year and Date
2017-01-21
Invited
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