2017 Fiscal Year Annual Research Report
Nonlinear spectral gap with respect to non-positively curved spaces
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15K17538
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Wirtingerの不等式 / 非線形スペクトルギャップ / 非正曲率空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Margulis の超剛性定理の幾何学的一般化である幾何学的超剛性定理を目指す研究において, 非線形スペクトルギャップの評価は本質的であると考えられるが, 計算が難しいためにほとんど計算例がなかった. Pansu は Gromov が示した非正曲率空間に対する Wirtinger の不等式を用いることでサイクルの非線形スペクトルギャップを厳密に求めた. このサイクルでの証明はそのままでは一般化が難しいが, 我々の得た別証明により他のグラフへの拡張の可能性が示唆された. この別証明は同時に Gromov のある問いに答えるものであり, これをまとめた論文は2017年にアクセプトされた.
本研究では超剛性との関わりを意識したコクセター複体の1スケルトンとコクセター群のケーリーグラフだけでなく, より広いクラスとして正多面体や3次元の様々な多面体の1スケルトンに対する Wirtinger の不等式の拡張と非線形スペクトルギャップの計算を行った. コクセター群での計算例は二面体群と4次対称群しか計算できていないが, いずれの場合にも非線形スペクトルギャップが線形のスペクトルギャップに一致することが分かっている. また120-cellを除く全ての正多面体, 3次元の幾つかの半正多面体においても, 非線形スペクトルギャップが線形スペクトルギャップと等しいことが分かった. 非線形スペクトルギャップが線形の場合に一致するという現象がどのくらい一般的に成り立つことなのかは当初からの問題意識であり, これについての様々な知見は得られつつあるものの, まだ分かっておらず, 今後の課題である.
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