2015 Fiscal Year Research-status Report
群の順序構造による視点からのトポロジーの研究とその応用
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15K17540
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 哲也 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (00710790)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 組みひも群 / 写像類群 / オープンブック分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
写像類群・組みひも群の順序構造と密接に関連した不変量であるFractional Dehn twist coefficient(FDTC)に関してこれまでの研究で得られていた結果と、写像類群・組みひも群上のランダムウォークに関する結果を合わせることで、ランダムな三次元多様体やランダムな結び目に対して、漸近的確率1で多くの期待されているよい性質（双曲性・taut葉層構造の存在など）を持つことを示した。これは順序構造のトポロジーへの新しい方向での応用を与えている。
また、写像類群と接触構造の更なる関連を調べるために、これまで考えていた曲面上の弧についてのright-veering順序と呼ばれる全順序構造の一般化を考え、写像類のright-veeringという性質の一般化であるquasi right-veeringという性質を導入した。特筆すべき点として、考えた順序構造は全順序ではなく、半順序となっていることである。quasi right-veeringという性質を用いて、閉組みひもで表されるtransverse knotが（non)looseであるという性質を特徴付けられることを示した。これは、３次元接触多様体とそのオープンブック分解についてのHonda-Kazez-Maticによる結果の一般化である。Honda-Kazez-Maticの定理（tight接触構造のオープンブック分解による特徴づけ）は接触トポロジーの基本定理であり重要となっていることを考えると、今回得られた結果はtransverse knotの研究において基本的な役割を果たすことが期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究を進め、順序構造のトポロジーへの更なる応用を見出すことができた。とくに、ランダムネス（ランダムな対象物を調べる）の観点は、近年様々な分野で考えられるようになり、盛んに研究されていることを考えると、順序構造がランダムな対象物を調べる際にも非常に有用であることを示した今回の結果は、課題である順序構造のトポロジーへの応用のさらなる可能性を示唆するものであり、引き続き調べていく意味があるものと思われる。
また、上に述べたように、今年度の研究で得られた概念であるquasi-right-veeringという性質は、対応するright-veeringという性質の重要さを考えると、今後の研究において重要な意味を持つことが期待される。特に、quasi-right-veeringの定式化においては、これまで想定していた全順序構造ではなく、半順序構造を用いるという点で、当初の想定を超えた発展となっている。特に、この研究結果から、トポロジーとの関連を調べる上では当初想定していた全順序を扱うだけでは不十分で、半順序のようなより一般の順序構造を扱う必要があることが分かってきた。
このように、順序の応用を与えるという側面については当初の予想をはるかに超える成果が得られている。しかしながら、一方で、順序の構成といった方面の目標についてはいまだ多くの困難があり、芳しい成果が今のところ出ていない。そのため、さらなる研究が必要となっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
課題である順序構造とトポロジーとの関連をさらに調べるために半順序のような、より一般の順序構造についても対象を広げ考察する。また、これまでの成果で得られている接触構造と写像類群・組みひも群の関連についてさらに研究を進めていく。
現在行き詰っている方向である、順序の具体的な構成の方面についての研究については、全順序とは限らない弱いより一般的な構造の構成法や関連を調べることで、何らかの進展を与えることを目指す。
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| Causes of Carryover |
次年度において異動することとなり、研究室の異動やそれに関連した手続き等の年度初めに予期していなかった雑務が生じたため、３月に計画していた出張を取りやめた。そのため若干の未使用経費が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
昨年度は出張できなかった集会に参加するなどして、より活発に研究交流を行う。
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