2016 Fiscal Year Research-status Report
群の順序構造による視点からのトポロジーの研究とその応用
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15K17540
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
伊藤 哲也 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (00710790)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 順序群 / 三次元多様体 / 接触構造 / オープンブック分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き、順序構造やそれに関連すると思われる事柄について、幅広く研究を行った。「ファイバー結び目群が両側順序を許容するならばそのAlexander多項式は少なくとも１つの正の実根をもつ」というClay-Rolfsenの結果について、ファイバー結び目という仮定を有理ホモロジー的ファイバー結び目という仮定に弱めることに成功した。ファイバー結び目にくらべ、有理ホモロジー的ファイバー結び目はずっと一般な条件であり、例えばすべての交代結び目はこのクラスに含まれる。これにより、結び目群が両側順序を持つか否かの判定がより一般の状況で行えるようになった。
また、Iowa大学の川室氏との共同研究を続け、Bennequin-Eliashberg不等式が等式となるようなtransverse linkの特徴づけに対して大きな進展を得た。Strongly quasipositiveと呼ばれる特別なクラスの組みひもから得られるtransverse linkについてはBennequin-Eliashberg不等式が等式となることはよく知られ、逆の成立が予想されている。川室氏との共同研究では、写像類群の順序を用いて記述できるFDTCと呼ばれる値が１よりも大きい場合、この逆が成り立つことを示し、多くの場合で予想が正しいことを確認した。また、一般のopen book分解中の閉組みひもについてもStrongly quasipositive braidの概念を導入し、特別な条件の下で、一般のopen book分解についてもBennequin-Eliashberg不等式が等式であることとStrongly quasipositiveという性質が同値であることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結び目群・三次元多様体の基本群上の左順序の存在・構成に関しての研究は大きな進展はなかったものの、両側順序の存在問題については既存の結果を大きく拡張するより強力な議論を得ることができた。両側順序の存在問題については、これまでの議論では交換子部分群の有限生成性が必要となっていたたため、ファイバー結び目という条件は本質的であった。今回、交換子部分群の有限生成性を、適当な良い部分群の有限生成性に置き換える手法を開発したことで、より一般のクラスについて議論を拡張することができ、今後はファイバー結び目を超えて両側順序の存在問題にアプローチできるのではないかと思われる。
また、順序構造とかかわる対象であるStrongly quasipositiveの幾何的な性質について一定の進展を得た。現在のところ、得られた結果については順序構造と関連するFractional Dehn twist coefficientと呼ばれる不変量についての仮定が重要な役割を持っており、順序構造のさらなる応用につながることを期待している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の進展を用いて、両側順序の存在問題について、より一般のクラスの結び目について考えていく。特に、現在問題として残っているAlexander多項式が1であるような結び目の場合に、Alexander多項式を超えて何か良い手法を開発することを考える。
また、Bennequin-Eliashberg不等式について、一般のオープンブック分解内の閉組みひもについて、strongly quasipositiveという性質がBennequin-Eliashberg不等式が等式となるという性質と同値かについて引き続き考察する。一般の場合については取り扱いが困難であることが予想されるため、まずはFractional Dehn twist coefficient（FDTC）についての条件を付け、取り扱いやすい状況での考察を行い、同値性を確認することを目指す。
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| Causes of Carryover |
昨年度は所属研究機関の異動があり予定を変更する必要が生じ、年度の初めの方の出張を取りやめたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究集会などの学会に予定より多く参加し、より活発に講演・研究を行うことで使用する。
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