2015 Fiscal Year Research-status Report
2重調和写像・2重調和部分多様体の分類問題の研究とその応用
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15K17542
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
前田 瞬 島根大学, 総合理工学研究科, 講師 (00709644)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | BMO予想 / 2重調和部分多様体 / 平均曲率一定 / 3重調和写像 / k重調和写像 / 調和写像 / 極小部分多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
球面内の2重調和部分多様体の研究を行い，「球面内の2重調和部分多様体は平均曲率一定であろう」という Balmus-Montaldo-Oniciuc 予想 ( BMO 予想) の肯定的部分的解決を行った．具体的には以下のとおり：球面内の完備2重調和超曲面が第2基本形式にある種の仮定があるときに，エネルギー有限性よりも弱い積分条件の元平均曲率一定である．
他に以下の結果を含む3編の論文の掲載が決定した．
1. これまで2重調和写像の例は数多く与えられていたが，3重調和写像に対してはあまり例が与えられていなかった．そこで，球面への3重調和写像の例を構成した．これは自明でなくかつ2重調和でないため，2重調和と3重調和は包含関係がないことがわかり，個別に研究する必要があることがわかった．
2. これまでは2重調和写像の研究，3重調和写像の研究がなされていたが，より一般のk重調和写像を考え，ドメインの完備性の条件とある種の積分条件のもとユークリッド空間へのk重調和等長はめ込みは自明なものに限ることを示した．
3. Nobumitsu Nakauchi, Hajime Urakawaとの共同研究により完備リーマン多様体から非正定曲率を持つリーマン多様体への3重調和等長はめ込みを考え，4-エネルギー有限性とテンション場のL4ノルム有限性の条件の元，写像は自明なものに限ることを示した．この結果は3重調和版一般化されたChen予想の肯定的部分的解決である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の目標であった，BMO予想に対する肯定的部分的解決ができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
得られた結果における仮定は幾分強いが，BMO予想はコンパクトのときにおいても同じ条件下で解決されているにすぎないため，今後はもう一度，球面内のコンパクト2重調和部分多様体に対して研究を行い，予想に対する方向性を見極めたい．
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| Causes of Carryover |
業務により予定していた研究集会への参加を1日見合わせたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究集会参加のための旅費に使用する．
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