2019 Fiscal Year Annual Research Report
A study of geometry of higher order partial differential equations equipped with singularities
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15K17543
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
澁谷 一博 広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 微分式系 / 微分方程式の幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分幾何学における微分式系の理論、田中理論を用いて、微分方程式の幾何学的研究を行った。微分幾何学における微分式系(多様体上の接空間の部分束)の理論、田中理論を用いて微分方程式の幾何学的研究を行った。特に2独立変数2未知関数1階決定系連立偏微分方程式の型の分類問題の研究を行った。2独立変数1未知関数2階単独偏微分方程式の研究に代表されるように1未知関数の偏微分方程式の幾何学的分類問題は、19世紀からダルブー、カルタンらにより研究されてきているなど、広く研究が行われてきている。実際、2独立変数1未知関数2階単独偏微分方程式は大まかに判別式により双曲型、放物型、楕円型に分類され、この型の分類は接触変換による同値関係の下での分類(田中理論における表象代数と呼ばれる冪零階別リー環の同型類による分類)と一致していることが知られている。一方で、多未知関数の偏微分方程式の幾何学的は、個別の微分方程式に対するアプローチはあるものの、未開拓な部分が多い。
そのような中、2独立変数2未知関数1階決定系連立偏微分方程式の型の分類問題に対し、正則性の仮定の下において、接触変換の下では5つの型、独立条件を保存する接触変換の下では6つの型に分類されることを示した。さらに、判別式を定義することにより、与えられた偏微分方程式が、どの型になるかの判定法も与え、また各型に対して表象代数の標準基底の具体的な表示を与えることに成功した。この表示は微分方程式の可積分条件の具体的な表示を与えることになっており、解の求積論を構築するための基盤となる情報となり、今後の研究の発展が期待されるものである。
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