2015 Fiscal Year Research-status Report
ブーゼマン・ポアソン核を許容するアダマール多様体の重心写像の幾何学
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15K17545
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| Research Institution | Nippon Institute of Technology |
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Principal Investigator |
佐藤 弘康 日本工業大学, 工学部, 准教授 (00375396)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | アダマール多様体 / 理想境界 / 確率測度の空間 / 重心 / フィッシャー計量 / 幾何平均 / 一般化冪平均 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
・確率測度の（正規化された）幾何平均の概念を定義した. この概念を用いて, 任意の2つの確率測度に対し, これらを結ぶフィッシャー計量に関する測地線が唯一つ存在することを明らかにした. また, アダマール多様体の理想境界上の2つの確率測度を結ぶ測地線分が重心写像のファイバー（1点の逆像）に含まれるための必要十分条件が, 測地線分の端点とその幾何平均がともに同一のファイバーに含まれることであることがわかった.
・研究協力者である筑波大学名誉教授 伊藤光弘氏と, 確率測度の「幾何平均の逆余弦の2倍」がフィッシャー計量に関する距離を与えることを証明した.
・伊藤光弘氏は, 確率測度全体のなす空間において, 実数パラメーターをもつアフィン接続の族（α-接続）の具体的な表記を導き, それらの接続に関する測地線が満たすべき微分方程式を得た（東京理科大学連続講演記録）. 本研究では, α=±1 の場合についてその微分方程式を解き, (±1)-測地線の具体的表記を導き, 任意の2つの確率測度に対してそれらを端点とする(±1)-測地線分がただ一つ存在することと, (±1)-測地線分の全運動エネルギーがカルバック・ライブラー情報量の対称部分と関連していることを明らかにした. また, 確率測度の（正規化された）冪平均の概念を定義することにより, (±1)-測地線分およびフィッシャー計量に関する測地線分（0-測地線分）の中点が端点の冪平均として特徴づけられることがわかった.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
・確率測度の（幾何平均を含む）一般化冪平均の概念を導入することにより, ファイバー空間としての重心写像の性質にある意味付けを与えることはできたが, 幾何的に非常に性質が「似た」2つのアダマール多様体の間の等張性を重心写像を用いて導くという問題については進展させることができなかった.
・しかし, 確率測度のなす空間上のα接続（特に, α=0, ±1）の測地線分の諸性質を一般化冪平均を用いて特徴づけることでき, これは当初想定していなかった成果である. これにより, 確率測度のなす空間の双対接続の幾何が大きく進展することが予想される.
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| Strategy for Future Research Activity |
アダマール多様体上のファイバー空間としての重心写像について研究する.
特に, 準等長的など, 性質が非常に近い2つのアダマール多様体が等長的となるためにはどのような性質を仮定すればよいか考察する.
平成27年度に得られた確率測度の一般化冪平均に関する結果および, 双対接続の幾何の研究も進展させ, 本課題の解明に利用できるか否か, その可能性も考察する.
今年度も定期的に筑波大学を訪問し, 伊藤光弘氏と研究討議する. また, 7月にチェコ共和国ブルノで開催される国際研究集会「Differential Geometry and its Applications 2016」に参加し研究発表を行う.
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| Causes of Carryover |
セミナーへの出席を取りやめたことによる.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度は研究発表, 研究討議および情報収集のための旅費に重点的に充てる.
チェコ共和国ブルノで開催される国際研究集会「Differential Geometry and its Applications 2016」に参加し, 研究発表を行う. また, 月1回程度筑波大学を訪問し, 伊藤光弘氏と研究討議する. 国内の研究集会にも積極的に参加し, 情報収集に務める.
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