2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K17546
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
大森 俊明 東京理科大学, 理工学部, 助教 (20638225)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 指数調和写像 / 調和写像 / 指数調和写像流 / 同変写像 / 球面ホモトピー群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，調和写像の存在問題への新たな方法論として，指数調和写像の近似列による調和写像の構成法を導入し，既知の調和写像の存在定理も視野に入れ，指数調和写像を用いた統一的な存在理論を展開することを目的とする。本年度は以下の（1）と（2）に取り組んだ。
（1）当初の予定通り，指数調和写像流の解析を行った。そして，ある種の時間発展型指数調和写像方程式の時間局所解の存在，およびその勾配評価を得ることはできたが，高階の評価を得るまでには至らなかった。ただ，値域の多様体が非正断面曲率を持つ場合には，高階の評価が得られ，時間大域的な正則解の存在を証明することができた
（2）当初の研究計画にはなかった問題だが，Yuan-Jen Chiang 氏（University of Mary Washington）との共同研究として，球面間の同変指数調和写像の構成に関する研究を行った。球面ホモトピー群の各類が調和写像によって代表されるかという問題は完全には解決されておらず，その問題に対して，指数調和写像を用いた新たな知見を得ることが目的である。本年度は，球面間のある種の同変指数調和写像方程式を書き下し，問題を定式化するところまで行ったが，その常微分方程式の境界値問題の解の存在を証明するまでには至らなかった。同変調和写像の場合とは異なり，常微分方程式の一般論が適用できず，困難に直面したが，現在は，指数エネルギー汎函数を用いた変分的な別のアプローチを試み，常微分方程式の自明解が不安定となる十分条件を導き出すことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
指数調和写像に関連する方程式は，既存の一般論が通用せず，当初の計画の通りにはうまく研究が進まなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続き，（1）指数調和写像流の解析と（2）同変指数調和写像方程式の解析を行っていく。（1）については，Giaquinta による Alternative Argument を用い，勾配のヘルダーノルム評価を得ることを目標とする。（2）については，同変指数調和写像が導く常微分方程式を直接解析するのではなく，指数エネルギー汎函数を用いた変分的なアプローチを試みる予定である。
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| Causes of Carryover |
当初の予定通りに研究が進まなかったため，研究成果の発表のための旅費を予定額ほど執行できなかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
共同研究者の Jen-Yuan Chiang 氏との研究打ち合わせを行うための旅費として執行する。
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