2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K17546
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
大森 俊明 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (20638225)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 指数調和写像 / 調和写像 / 同変写像 / 離散曲面 / グラフスペクトル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，主に以下の二つの問題（１）と（２）に取り組んでいる。
（１）本研究では，指数調和写像の存在・非存在，及び構成を主題とし，特に，それを用いた統一的な調和写像の存在理論を展開することを視野に入れている。今年度は以下の問題に取り組んだ。
（１－ａ）前年度に，非負リッチ曲率を持つ完備リーマン多様体上の指数エネルギー有限な指数調和函数は定数に限ることを証明した。今年度は，値域を多様体に一般化し非正断面曲率を持つ完備リーマン多様体へのある指数エネルギー評価を満たす指数調和写像が定数に限ることを示した。特に，指数エネルギー有限ならば定数に限ることが分かる。この成果については, 幾つかの学会やセミナーで講演させていただいた。
（１－b）Yuan-Jen Chiang 氏（メアリーワシントン大学）と浦川肇氏（東北大学）との共同研究により，球面間の同変指数調和写像の存在を証明した。球面間の指数調和写像はトポロジーに依らずに常に存在するが，同変写像として存在するかどうかは非自明であり，また，指数調和写像による調和写像の近似列を考えることにより，同変調和写像の存在への新たな知見が得られる可能性を秘めている。
（２）3-または4-分岐有限平面グラフに対して，Goldberg-Coxeter 細分と呼ばれる細分列の固有値について研究した。本研究は，内藤久資氏（名古屋大学）と楯辰哉氏（東北大学）との共同研究である。与えられたグラフ X の Goldberg-Coxeter 細分は，細分を進めるにつれて，最初の X の頂点数だけの固有値が指数的に 0 に収束することを証明した。また，Goldberg-Coxeter 細分が特別な固有値を持つことを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多様体への指数調和写像のエネルギーリュービル性，および，同変指数調和写像の存在を証明することができ，前年度の研究計画にあげた目標ははおおむね達成することができた。ただ，同変指数調和写像の調和写像への近似列の解析や，指数調和写像流の高階評価など，まだまだ達成するべき問題は残っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は，（１）指数調和写像流の高階評価，（２）同変指数調和写像の調和写像への近似列の解析，（３）3-または4-分岐有限平面グラフの Goldberg-Coxeter 細分の固有値の解析と行う。
（１）については，Giaquinta による Alternative Argument を用い，勾配のヘルダーノルム評価を得るのが目標である。（２）については，球面間の同変調和写像の存在の障害である damping 条件を新たな形で述べることができればよいと考えている。（3）については，Goldberg-Coxeter 細分の固有値分布まで得られればよいが，既存の跡公式の適用がかなわず，代替策として Goldberg-Coxeter 細分の閉路の数え上げを目標とする。
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| Causes of Carryover |
（理由）研究はおおむね順調に進んだが，成果を発表する余裕がなく，そのための旅費を予定額ほど執行できなかった。
（使用計画）今年度および次年度に得た成果を，学会やセミナー，そして研究集会等で発表するための旅費として執行する。また，共同研究者との研究打ち合わせを行うための出張旅費としても使用する。更に，研究目標達成に必要な偏微分方程式やグラフ理論に関する図書や参考資料を購入する。
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