2015 Fiscal Year Research-status Report
自由確率論の研究とその確率論・組合せ論・表現論への応用
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15K17549
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
長谷部 高広 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (00633166)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ウィグナーの半円分布 / 自由Levy過程 / 無限分解可能分布 / order polynomial / chromatic polynomial / ランダム行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主要な研究の進展に絞って述べる。
自由確率論においてはウィグナーの半円分布に従う確率変数が中心的な役割を果たす。この確率変数のベキ乗が多くの場合、自由確率論の意味において無限分解可能であることを示した。古典的な確率論では、Bondessonが確率変数のベキに関する理論を構築している。今回の研究結果は、そのような理論を自由確率論でも構築する足がかりになると期待している。
Octavio Arizmendiとの共同研究で、乗法的な自由Levy過程の時刻0の近傍での振る舞いが古典的な確率論の場合と類似していることを見つけた。これによって、乗法的自由畳み込みの理解を進展させることができた。またこの研究の副産物として、独立なガウス確率変数を成分に持つような上三角ランダム行列の絶対値の固有値分布が、サイズ無限大の極限で対数自由安定分布に収束することが分かった。それまではランダム行列において知られていた自由安定分布はウィグナーの半円分布とコーシー分布のみであったので、この結果はランダム行列の研究に役立つのではないかと思う。
北海道大学の吉永正彦氏とともに、Stanleyのorder polynomialとグラフの彩色問題において現れるchoromatic polynomialの研究を行った。もともと、これらの多項式は正の整数にを代入したときにのみ組合せ論的な意味があるような定義になっているが、実は負の整数を代入した時にもグラフのある対象の数え上げを表すことがStanleyによって示されていた。今回の研究ではEuler標数を用いて、これらの多項式に負の整数を代入することに対して新しい意味付けを与えた。この研究のきっかけの１つは自由確率論における組合せ論の問題であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
もともと研究計画として主に以下の４つを考えていた: (1) 自由無限分解可能分布の研究, (2) 乗法的自由畳み込みに関する研究, (3) キュムラントの研究及び組合せ論的なHopf 代数との関係, (4) 対称群の漸近表現論の研究.
当初の予定以上に進んだ部分としては、【研究実績の概要】で述べたウィグナー確率変数のベキの自由無限分解可能性、またそこでは述べなかったが佐久間紀佳との共同研究で自由Levy過程の単峰性について研究が進展し、Hao-Wei Huang氏との共同研究では自由無限分解可能分布における新しい極限定理を見つけた。これらによって、(1)に関する当初の研究実施計画よりも大きく進展した。 また【研究実績の概要】で述べたOctavio Arizmendiとの共同研究によって(2)の研究が進展し、やや元の目標と方向性がずれているが、吉永正彦氏との共同研究で(3)が進展した。またB型のFock空間に関するMarek Bozejko, Wiktor Ejsmontとの共同研究は科研費事業が始まる以前の平成26年度中に完成した。さらにその研究の続きとして、Marek Bozejko・浅井暢宏氏とB型Fock空間のBargmann表現を計算した。またBenoit Collins, 佐久間紀佳氏と自由確率論を用いてランダム行列の離散固有値を解析した。これは当初は予定していなかった進展だった。
当初の予定より進まなかったのは、Franz Lehnerとのキュムラントの共同研究で、27年度に完成させようとしていたのだが、終わらなかった。
以上を総合的に見ると、研究は予定以上に進んだといって良いと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
(平成28年度)【研究実績の概要】で述べたOctavio Arizmendiとの研究はまだ終わっていないので、完成させるために討論したい。またFranz Lehnerと非可換確率論におけるキュムラントの一般理論、及びその組合せ論への応用を完成させる。また吉永正彦氏との共同研究で無限グラフの不変量を構成する問題に取り組んでいきたい。特に吉永氏の提案した概念「Chromatic functor」の更なる理解と一般化等を考えていく。そしてHao-Wei Huangとの共同研究を完成させるために、討論したい。
これまでに得た研究結果を発表し、また新たな方向性を探るために、まず平成28年度の７月にポーランドで開かれる国際研究集会に参加し、また12月にカナダで開かれる自由確率論の研究集会に参加しようと思っている。他にも日本数学会や組合せ論の研究集会など、機会を見つけて講演をしたい。
(平成29年度以降) これまで様々な確率分布が自由無限分解可能であるかどうかを判定する手法を確立して来たが、自由無限分解可能の中にも様々なクラスが知らせている。確率分布がそれらのクラスに属するかどうかを判定できるかどうかを議論していきたい。そのために佐久間紀佳・Thorbjornsenと自由無限分解可能性の議論を継続するために、Aarhusへ渡航し３人で集まって議論ようと考えている。
平成28年度中に終わらない課題にも取り組んでいく。また対称群の漸近表現論については、これまで様々な論文に目を通して、現状を把握することに努めてきた。今後はランダム行列・自由確率論との関係をさらに考えていきたい。そのために京都大学のBenoit Collinsを訪問し、議論しようと思っている。
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| Causes of Carryover |
日本数学会(2016年3月)への出張手続き処理が27年度中に完了しなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
日本数学会(2016年3月)への出張費用
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Research Products
(9 results)
